已知$a={{2}^{0.7}}$，$b={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0.7}}$，$c={{\log }_{2}}\dfrac{1}{3}$，则$(\qquad)$．

$a\\gt c\\gt b$

$b\\gt c\\gt a$

$a\\gt b\\gt c$

$c\\gt a\\gt b$

$\because y={{2}^{x}}$是定义域$\bf R$上的单调增函数，

$\therefore {{2}^{0.7}}\gt {{2}^{0}}=1$，即$a={{2}^{0.7}}\gt 1$；

$\because y={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}$是定义域$\bf R$上的单调减函数，

$\therefore {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0.7}}\lt {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0}}=1$，且$b={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0.7}}$，

$\therefore 0\lt b\lt 1$；

$\because y={{\log }_{2}}x$是定义域$(0,+\infty )$上的单调增函数，

$\therefore {{\log }_{2}}\dfrac{1}{3}\lt {{\log }_{2}}1=0$，即$c={{\log }_{2}}\dfrac{1}{3}\lt 0$；

$\therefore a\gt b\gt c$．

故选：$\mathrm{C}$

方程${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=1$的解为$x=$                ．

方程${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=1$，即$3{{\log }_{2}}x=1$，解得${{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{3}$，

$\therefore x=\sqrt[3]{2}$．

故答案为：$\sqrt[3]{2}$

若${{\log }_{(1-x)}}{{(1+x)}^{2}}=1$，则$x=$                ．

${{\log }_{(1-x)}}{{(1+x)}^{2}}=1$，

则$\begin{cases}{} {{(1+x)}^{2}}=1-x \\ 1-x\gt 0且1-x\ne 1 \\\end{cases}$，解得$x=-3$．

故答案为：$-3$

已知函数$y=\lg (\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+ax)$的定义域是$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是                ．

$\because $函数$y=\lg (\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+ax)$的定义域是$\mathbf{R}$，

$\therefore \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+ax\gt 0$对于任意实数$x$恒成立，

即$ax\gt -\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$对于任意实数$x$恒成立，

当$x=0$时，上式化为$0\gt -1$，此式对任意实数$a$都成立；

当$x\gt 0$时，则$a\gt \dfrac{-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}{x}=-\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1}$，

$\because x\gt 0$，

$\therefore \dfrac{1}{x}\gt 0$，则$\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1={{\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\geqslant \dfrac{3}{4}$，

则$-\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1}\leqslant -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，可得$a\gt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；

当$x\lt 0$时，则$a\lt \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}{-x}=\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1}$，

$\because x\lt 0$，

$\therefore \dfrac{1}{x}\lt 0$，则$\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1={{\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\gt 1$，

则$\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}+1}\gt 1$，可得$a\leqslant 1$．

综上可得，实数$a$的取值范围是$\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2},1 \right]$．

故答案为：$\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2},1 \right]$

已知${{\log }_{2}}({{\log }_{3}}({{\log }_{4}}x))=0$，${{\log }_{4}}({{\log }_{2}}({{\log }_{3}}y))=0$，${{\log }_{3}}({{\log }_{4}}({{\log }_{2}}z))=0$，则$x+y+z$的值为                ．

$\because {{\log }_{2}}({{\log }_{3}}({{\log }_{4}}x))=0$，

$\therefore {{\log }_{3}}({{\log }_{4}}x)=1$，${{\log }_{4}}x=3$，

$\therefore x={{4}^{3}}=64$，

$\because {{\log }_{4}}({{\log }_{2}}({{\log }_{3}}y))=0$，

$\therefore {{\log }_{2}}({{\log }_{3}}y)=1$，${{\log }_{3}}y=2$，

$\therefore y=9$，

$\because {{\log }_{3}}({{\log }_{4}}({{\log }_{2}}z))=0$，

$\therefore {{\log }_{4}}({{\log }_{2}}z)=1$，${{\log }_{2}}z=4$，

$\therefore z=16$，

$\therefore x+y+z=89$．

故答案为：$89$

已知$P=\{(x,y)|\lg (xy)=\lg x+\lg y,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$Q=\{(x,y)|{{2}^{x}}\cdot {{2}^{y}}={{2}^{x+y}},x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$S=\{(x,y)|\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy},x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，则下列关于集合$P$，$Q$，$S$关系的表述正确的是$(\qquad)$．

$P=Q$

$Q=S$

$Q\\subset P$

$P\\subset S$

$\because P=\{(x,y)|\lg (xy)=\lg x+\lg y,x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}=\{(x,y)|x\gt 0,y\gt 0\}$，

$Q=\{(x,y)|{{2}^{x}}\cdot {{2}^{y}}={{2}^{x+y}},x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}=\{(x,y)|x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，

$S=\{(x,y)|\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy},x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}=\{(x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0\}$，

$\therefore P\subset S\subset Q$．

故选：$\text{D}$

已知$a$，$b\in \mathbf{R}$，则下列命题中正确的个数为$(\qquad)$．

（1）若$0\lt a\lt b\lt 1$，则${{a}^{a}}\lt {{b}^{b}}$；

（2）若$0\lt a\lt b\lt 1$，则${{\log }_{a}}b\lt {{\log }_{b}}a$；

（3）若$a\gt b\gt 1$，则${{a}^{b}}\lt {{b}^{a}}$．

$3$个

$2$个

$1$个

$0$个

（1）设函数$f(x)=x\ln x$，则$f' (x)=1+\ln x$，

$\therefore x\in \left( 0,\dfrac{1}{\text{e}} \right)$时，$f' (x)\lt 0$，$f(x)$单调递减，

$x\in \left( \dfrac{1}{\text{e}},+\infty \right)$时，$f(x)\gt 0$，$f(x)$单调递增．

$\because 0\lt a\lt b\lt 1$，

$\therefore $ 存在$0\lt a\lt \dfrac{1}{\text{e}}\lt b\lt 1$，使得$f(a)=f(b)$，

即$a\ln a=b\ln b$，此时${{a}^{a}}={{b}^{b}}$，故（1）错误．

（2）$\because 0\lt a\lt b\lt 1$，

$\therefore \log _{a}^{a}\gt \log _{a}^{b}$，$\log _{b}^{a}\gt \log _{b}^{b}$，

$\therefore \log _{a}^{b}\lt 1\lt \log _{b}^{a}$，故（2）正确，

（3）举例说明：当$a=3$，$b=2$时，

${{a}^{b}}={{3}^{2}}=9$，${{b}^{a}}={{2}^{3}}=8$，

${{a}^{b}}\gt {{b}^{a}}$，故（3）错误．

故选：$\text{C}$

已知$a\ne 0$，函数$f(x)={{\log }_{2}}\dfrac{ax}{4-x}$．

（1）若$a=3$，求不等式$f(x)\lt 1$的解集；

（2）若$a\gt 0$，求证：函数$y=f(x)$的图像关于点$P(2,{{\log }_{2}}a)$成中心对称；

（3）若方程$f(x)-{{\log }_{2}}(a+x-2)=0$的解集恰有一个元素，求$a$的取值范围．

（1）$\\left( 0,\\dfrac{8}{5} \\right)$；

（2）答案见解析；

（3）$(-\\infty ,0)\\cup{[}2,+\\infty )\\cup{\\{1\\}}$

（1）当$a=3$时，不等式$f(x)\lt 1$，即${{\log }_{2}}\dfrac{3x}{4-x}\lt 1$，

$\therefore 0\lt \dfrac{3x}{4-x}\lt 2$，解得$0\lt x\lt \dfrac{8}{5}$，

故不等式的解集为$\left( 0,\dfrac{8}{5} \right)$；

（2）证明：$\because a\gt 0$，则函数$f(x)$的定义域为$(0,4)$，

任取$x\in (-2,2)$，

则$f(2-x)+f(2+x)={{\log }_{2}}\dfrac{a(2-x)}{4-(2-x)}+{{\log }_{2}}\dfrac{a(2+x)}{4-(2+x)}=2{{\log }_{2}}a$，

$\therefore $ 函数$y=f(x)$的图像关于点$P(2,{{\log }_{2}}a)$成中心对称；

（3）由${{\log }_{2}}\dfrac{ax}{4-x}-{{\log }_{2}}(a+x-2)=0$，可得${{x}^{2}}+(2a-6)x-2(2a-4)=0$，

解得${{x}_{1}}=2$，${{x}_{2}}=4-2a$，

若${{x}_{1}}={{x}_{2}}$，则$a=1$，检验定义域，符合题意；

若${{x}_{1}}=2$是原方程的解，则$a+{{x}_{1}}-2\gt 0$，$a\gt 0$；

若${{x}_{2}}=4-2a$是原方程的解，则$a-2+4-2a\gt 0$，即$a\lt 2$．

$\because $ 方程$f(x)-{{\log }_{2}}(a+x-2)=0$的解集恰有一个元素，

$\therefore $ 实数$a$的取值范围为$(-\infty ,0)\cup{[}2,+\infty )\cup{\{1\}}$．

测量地震级别的里氏震级$M$的计算公式为：$M=\lg A-\lg {{A}_{0}}$，其中$A$是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数${{A}_{0}}$是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是$1000$，而此次地震的里氏震级恰好为$6$级，那么里氏$9$级地震的最大的振幅是里氏$5$级地震最大振幅的                倍．

根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是$1000$，此次地震的里氏震级恰好为$6$级，

则$M=\lg A-\lg {{A}_{0}}=\lg 1000-\lg {{A}_{0}}=3-\lg {{A}_{0}}=6$，解得：$\lg {{A}_{0}}=-3$，

设$9$级地震的最大的振幅是$x$，$5$级地震最大振幅是$y$，

$9=\lg x+3$，$5=\lg y+3$，解得$x={{10}^{6}}$，$y={{10}^{2}}$，

$\therefore \dfrac{x}{y}=\dfrac{{{10}^{6}}}{{{10}^{2}}}=10000$．

故答案为：$10000$

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数那运算是两类重要的运算．

（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数运算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果$a\gt 0$，且$a\ne 1$，$M\gt 0$，那么${\log _a}{M^n}=n\log _{a}M(n\in{\bf R})$

（2）因为$2^{10}=1024\in (10^{3},10^{4})$，所以$2^{10}$的位数为$4$（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断$2019^{2020}$的位数．（注$\lg2019\approx 3.305)$

（3）$2017$年$5$月$23$日至$27$日，围棋世界冠军柯杰与$DeepMind$公司开发的程序“$AlphaGo$”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为$M=3^{361}$，而根据有关面料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的为$N=10^{80}$，甲乙两个同学都估算了$\dfrac{M}{N}$的近似值，甲认为是$10^{73}$，乙认为是$10^{93}$，现有一种定义：若实数$x$，$y$满足$\vert x-m\vert \lt \vert y-m\vert$则称$x$比$y$接近$m$，请你判断哪个同学的近似值更接近$\dfrac{M}{N}$，并说明理由．

（1）推导见解析．

（2）$6677$．

（3）甲同学的近似值更接近$\\dfrac{M}{N}$

（1）如果$a\gt 0$，且$a\ne 1$，$M\gt 0$，

$\because{a^{n{{\log }_a}M}}={({a^{{{\log }_a}M}})^n}={M^n}$，

$\therefore{a^{{{\log }_a}{M^n}}}={a^{n{{\log }_a}M}}$，

$\therefore{\log _a}{M^n}=n{\log _a}M({n\in{\bf R}})$．

（2）设$2019^{2020}=t$，

$\therefore \lg t=2020\lg 2019$，

$\because \lg 2019\approx 3.305$，

$\therefore \lg t=2020\lg 2019=6676.1$，

$\therefore t=10^{6676.1}\in (10^{6676}$，$10^{6677})$，

$\therefore2019^{2020}$的位数为$6677$．

（3）根据题意得，$\dfrac{M}{N}=\dfrac{3^{361}}{{10}^{80}}$，

$\therefore \lg \dfrac{M}{N}=\lg \dfrac{3^{361}}{{10}^{80}}=\lg {3^{361}}-\lg {10^{80}}=361\lg 3-80\approx 92.24$，

$\therefore\dfrac{M}{N}={10^{92.24}}\in ({{{10}^{92}},{{10}^{93}}})$，

$\because \lg (2\times 3^{361})=\lg 2+361\lg 3\approx 172.54\lt 173=\lg 10^{173}$，

$\therefore2\times 3^{361}\lt 10^{173}\lt 10^{173}+10^{153}$，

$\therefore\dfrac{2\times {3^{361}}}{{10}^{80}}\lt {10^{93}}+{10^{73}}$，

$\therefore\left\vert {\dfrac{3^{361}}{{10}^{80}}-{{10}^{73}}}\right\vert \lt \left\vert {\dfrac{3^{361}}{{10}^{80}}-{{10}^{93}}}\right\vert$，

$\therefore$ 甲同学的近似值更接近$\dfrac{M}{N}$．