已知$\boldsymbol a=(-1,2)$，$\boldsymbol b=(1,3)$，则$2\boldsymbol a-\boldsymbol b$在$\boldsymbol a+\boldsymbol b$方向上的投影为$(\qquad)$．

$1$

$5$

$\\dfrac{\\sqrt{10}}{2}$

$\\sqrt{5}$

$\because \boldsymbol a=(-1,2)$，$\boldsymbol b=(1,3)$，则$2\boldsymbol a-\boldsymbol b=(-3,1)$，$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(0,5)$

$\therefore (2\boldsymbol a-\boldsymbol b)\cdot (\boldsymbol a+\boldsymbol b)=5$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=5$，

$\therefore 2\boldsymbol a-\boldsymbol b$在$\boldsymbol a+\boldsymbol b$方向上的投影为：$\dfrac{(2\boldsymbol a-\boldsymbol b)\cdot (\boldsymbol a+\boldsymbol b)}{\left| \boldsymbol a+\boldsymbol b \right|}=1$．

故选：$\rm A$

已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}=(3,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,4)$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=(\qquad)$．

$1$

$3$

$5$

$7$

向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}=(3,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,4)$，

$\therefore \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(3,-4)$，

$\therefore |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=5$．

故选：$\rm C$

已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}=(3,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,4)$，$\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+(1-\lambda )\boldsymbol{b}(\lambda \in \bf R)$，则$|\boldsymbol{c}|$的最小值为$(\qquad)$．

$\\dfrac{6}{5}$

$\\dfrac{12}{5}$

$\\dfrac{36}{5}$

$\\dfrac{48}{5}$

$\boldsymbol{a}=(3,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,4)$，$\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+(1-\lambda )\boldsymbol{b}=\lambda (3,0)+(1-\lambda )(0,4)=(3\lambda ,4-4\lambda )$，

$\therefore |\boldsymbol{c}|=\sqrt{9{{\lambda }^{2}}+{{(4-4\lambda )}^{2}}}=\sqrt{25{{\lambda }^{2}}-32\lambda +16}=\sqrt{25{{\left( \lambda -\dfrac{16}{25} \right)}^{2}}+\dfrac{144}{25}}\geqslant \sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}$，

当且仅当$\lambda =\dfrac{16}{25}$时取等号，

故$|\boldsymbol{c}|$的最小值为$\dfrac{12}{5}$．

故选：$\text{B}$

设点$P$在单位圆的内接正八边形${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{8}}$的边${{A}_{1}}{{A}_{2}}$上，则${{\overrightarrow{P{{A}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{P{{A}_{2}}}}^{2}}+\cdots +{{\overrightarrow{P{{A}_{8}}}}^{2}}$的取值范围是               ．

以圆心为原点，${{A}_{7}}{{A}_{3}}$所在直线为$x$轴，${{A}_{5}}{{A}_{1}}$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则${{A}_{1}}(0,1)$，${{A}_{2}}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$，${{A}_{3}}(1,0)$，${{A}_{4}}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$，${{A}_{5}}(0,-1)$，${{A}_{6}}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$，${{A}_{7}}(-1,0)$，${{A}_{8}}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$．设$P(x,y)$，于是${{\overrightarrow{P{{A}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{P{{A}_{2}}}}^{2}}+\cdots +{{\overrightarrow{P{{A}_{8}}}}^{2}}=8({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+8$，

$\because \cos {{22.5}^{{}^\circ }}\leqslant |OP|\leqslant 1$，

$\therefore \dfrac{1+\cos {{45}^{{}^\circ }}}{2}\leqslant {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leqslant 1$，故${{\overrightarrow{P{{A}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{P{{A}_{2}}}}^{2}}+\cdots +{{\overrightarrow{P{{A}_{8}}}}^{2}}$的取值范围是$[12+2\sqrt{2},16]$．

故答案为：$[12+2\sqrt{2},16]$

已知向量${\boldsymbol a}=(3,4)$，${\boldsymbol b}=(1,0)$，${\boldsymbol c}={\boldsymbol a}+t{\boldsymbol b}$，若$\left\langle {\boldsymbol a},{\boldsymbol c} \right\rangle =\left\langle {\boldsymbol b},{\boldsymbol c} \right\rangle $，则$t=(\qquad)$．

$-6$

$-5$

$5$

$6$

由已知有${\boldsymbol c}=(3+t,4)$，$\cos\left\langle {\boldsymbol a},{\boldsymbol c} \right\rangle =\cos\left\langle {\boldsymbol b},{\boldsymbol c} \right\rangle $，故$\dfrac{9+3t+16}{|{\boldsymbol c}|\cdot 5}=\dfrac{3+t}{|{\boldsymbol c}|\cdot 1}$，解得$t=5$．

故选：$\text{C}$

已知向量${\boldsymbol {a}}=(2,1)$，${\boldsymbol b}=(-2,4)$，则$|{\boldsymbol a}-{\boldsymbol b}|=(\qquad)$．

$2$

$3$

$4$

$5$

由题可得${\boldsymbol a}-{\boldsymbol b}=(4,-3)$，则$|{\boldsymbol a}-{\boldsymbol b}|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=5$．

故选：$\text{D}$

已知向量$\boldsymbol{a}=(2,2)$，$\boldsymbol{b}=(-1,m)$，若$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//\boldsymbol{b}$，则实数$m=$                ．

$\because $ 向量$\boldsymbol{a}=(2,2)$，$\boldsymbol{b}=(-1,m)$，

$\therefore 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,4+m)$，

$\because (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//\boldsymbol{b}$，

$\therefore \dfrac{-1}{3}=\dfrac{m}{4+m}$，

解得实数$m=-1$．

故答案为：$-1$

已知抛物线$C$：${{y}^{2}}=2px\left( p\gt 0 \right)$的焦点$F$到准线的距离为$2$．

（1）求$C$的方程；

（2）已知$O$为坐标原点，点$P$在$C$上，点$Q$满足$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$，求直线$OQ$斜率的最大值．

（1）在抛物线中，焦点$F$到准线的距离为$p$，

故$p=2$，${{y}^{2}}=4x$．

（2）设点 $P\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$，$Q\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$，$F(1,0)$，

则 $\overrightarrow{PQ}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}},{{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)$，$\overrightarrow{QF}=\left( 1-{{x}_{2}},-{{y}_{2}} \right)$，

$\because \ \overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$，$\therefore\left\{ \begin{array}{l} {x_{2}-x_{1}=9\left( 1-x_{2}\right)}\\{y_{2}−y_{1}=−9y_{2}} \end{array}\right. \ $，

那么 $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1}=10x_{2}-9}\\{y_{1}=10y_{2}} \end{array}\right. $，

又$\because $ 点在$P$抛物线上， ${{y}_{1}}^{2}=4{{x}_{1}}$，

$\therefore \ {{\left( 10{{y}_{2}} \right)}^{2}}=4\left( 10{{x}_{2}}-9 \right)$，则点$Q$的轨迹方程为${{y}^{2}}=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{9}{25}$，

设直线$OQ$方程为$y=kx$，当直线$OQ$和曲线${{y}^{2}}=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{9}{25}$相切时，斜率最大，

联立直线与曲线方程，此时${{k}^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{9}{25}$，得${{k}^{2}}{{x}^{2}}-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}=0$，

相切时，$\varDelta=0$，即$\left( -\dfrac{2}{5}\right)^{2}-4k^{2}\times\dfrac{9}{25}=0$，解得$k=\pm\dfrac1 3$，

$\therefore $ 直线$OQ$斜率的最大值为$\dfrac{1}{3}$．

已知$A(0,-1)$，$B(1,0)$，$O$为坐标原点，点$P$为曲线$y={{\text{e}}^{x}}$上的动点，且$\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$（$\text{e}=2.718\cdots $为自然对数的底数，$\lambda $，$\mu \in \bf R$），则$\lambda +\mu $的最大值是$(\qquad)$．

$\\text{e}-1$

$1-\\text{e}$

$1$

$-1$

由题意知，

$\overrightarrow{OP}=(x,{{\text{e}}^{x}})$，$\overrightarrow{OA}=(0,-1)$，$\overrightarrow{OB}=(1,0)$，

$\because \overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$，

$\therefore (x,{{\text{e}}^{x}})=(\mu,-\lambda )$，

故$\lambda =-{{\text{e}}^{x}}$，$\mu =x$，

故$\lambda +\mu =-{{\text{e}}^{x}}+x$，

令$f(x)=-{{\text{e}}^{x}}+x$，则$f' (x)=-{{\text{e}}^{x}}+1$，

故当$x\in (-\infty ,0)$时，$f' (x)\gt 0$，$x\in (0,+\infty )$时，$f' (x)\lt 0$，

故$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增，在$(0,+\infty )$上单调递减，

故$\lambda +\mu $的最大值是$f(0)=-1+0=-1$．

故选：$\text{D}$

已知点$A$是圆$C:{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$上的动点，$O$为坐标原点，$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，且$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|$，$O$，$A$，$B$三点顺时针排列，下列选项正确的是$(\qquad)$．

点$B$的轨迹方程为${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2$

$|CB|$的最大距离为$1+\\sqrt{2}$

$\\overrightarrow{CA}\\cdot \\overrightarrow{CB}$的最大值为$\\sqrt{2}+1$

$\\overrightarrow{CA}\\cdot \\overrightarrow{CB}$的最大值为$2$

如图，过$O$点作$OD//AB$，且$OD=AB$，

则点$C(-1,0)$，设点$A({{x}_{0}},{{y}_{0}})$，设$\angle xOA=\alpha $，则$\angle xOD=\alpha -\dfrac{\pi }{2}$，设$|OA|=a$，

$\therefore$ ${{x}_{0}}=a\cos \alpha $，${{y}_{0}}=a\sin \alpha $，

$\therefore$ ${{x}_{D}}=a\cos \left( \alpha -\dfrac{\pi }{2} \right)=a\sin \alpha ={{y}_{0}}$，${{y}_{D}}=a\sin \left( \alpha -\dfrac{\pi }{2} \right)=-a\cos \alpha =-{{x}_{0}}$，即点$D({{y}_{0}},-{{x}_{0}})$，

$\because$ $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=({{x}_{0}}+{{y}_{0}},{{y}_{0}}-{{x}_{0}})$，

设点$B(x,y)$，可得$\begin{cases}{} x={{x}_{0}}+{{y}_{0}} \\ y={{y}_{0}}-{{x}_{0}} \\\end{cases}$，解得$\begin{cases}{} {{x}_{0}}=\dfrac{x-y}{2} \\ {{y}_{0}}=\dfrac{x+y}{2} \\\end{cases}$，

$\because$ 点$A$在圆${{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$上，

$\therefore$ ${{({{x}_{0}}+1)}^{2}}+y_{0}^{2}=1$，

将$\begin{cases}{} {{x}_{0}}=\dfrac{x-y}{2} \\ {{y}_{0}}=\dfrac{x+y}{2} \\\end{cases}$代入方程${{({{x}_{0}}+1)}^{2}}+{y_{0}}^{2}=1$可得${{\left(\dfrac{x-y}{2}+1\right)}^{2}}+{{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}^{2}}=1$，

整理可得${{(x+l)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2$，

$\therefore$ $\rm A$是错的；

$\therefore$ $CB$的最大距离为$1+\sqrt{2}$，$\rm B$是对的；

设$\angle CAO=\theta $，$0{}^\circ \leqslant \theta \leqslant 90{}^\circ $，

$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})={{\overrightarrow{CA}}^{2}}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=1+|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|\cos (90{}^\circ -\theta )$

$=1+|OA|\sin \theta =1+2\cos \theta \sin \theta =1+\sin 2\theta \leqslant 2$，

$\therefore$ $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$的最大值为$2$，故$\rm C$是错的，$\rm D$是对的．

故选：$\text{BD}$