某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮$3$次，若$3$次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为$0$分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮$3$次，每次投中得$5$分，未投中得$0$分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲，乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为$p$，乙每次投中的概率为$q$，各次投中与否相互独立．

$(1)$若$p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于$5$分的概率；

$(2)$假设$0\lt p\lt q$，

$(\text{i})$为使得甲、乙所在队的比赛成绩为$15$分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？

$(\text{ii})$为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛？

$(1)$$0.686$；

$(2)$$(\\text{i})$甲；

    $(\\text{ii})$甲

$(1)$甲、乙所在队的比赛成绩不少于$5$分，则甲第一阶段至少投中$1$次，乙第二阶段也至少投中$1$次，

$∴$ 比赛成绩不少于$5$分的概率$P=(1-{{0.6}^{3}})(1-{{0.5}^{3}})=0.686$；

$(2)(i)$若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为$15$分的概率为${{P}_{甲}}=[1-{{(1-p)}^{3}}]{{q}^{3}}$，

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为$15$分的概率为${{P}_{乙}}=[1-{{(1-q)}^{3}}]{{p}^{3}}$，

$\therefore {{P}_{甲}}-{{P}_{乙}}={{q}^{3}}-{{(q-pq)}^{3}}-{{p}^{3}}+{{(p-pq)}^{3}}$，

$=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]\gt 0$，

$\therefore {{P}_{甲}}\gt {{P}_{乙}}$，

$\therefore $ 应该由甲参加第一阶段比赛；

$(ii)$若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩$X$的所有可能取值为$0$，$5$，$10$，$15$，

$P(X=0)={{(1-p)}^{3}}+[1-{{(1-p)}^{3}}]\cdot {{(1-q)}^{3}}$，

$P(X=5)=[1-{{(1-p)}^{3}}]\cdot \text{\rm {C}}_{3}^{1}\cdot q\cdot {{(1-q)}^{2}}$，

$P(X=10)=[1-{{(1-p)}^{3}}]\cdot \text{\rm {C}}_{3}^{2}{{q}^{2}}(1-q)$，

$P(X=15)=[1-{{(1-p)}^{3}}]\cdot {{q}^{3}}$，

$\therefore E(X)=15[1-{{(1-p)}^{3}}]q=15({{p}^{3}}-3{{p}^{2}}+3p)\cdot q$，

若乙先参加第一阶段比赛，数学成绩$Y$的所有可能取值为$0$，$5$，$10$，$15$，

同理可得$E(Y)=15({{q}^{3}}-3{{q}^{2}}+3q)\cdot p$，

$\therefore E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3)\gt 0$，

$\therefore E(X)\gt E(Y)$，

$\therefore $ 应该由甲参加第一阶段比赛．