已知数列$\{{{a}_{n}}\}$是公差不为零的等差数列，${{a}_{1}}=-11$，且${{a}_{2}}$，${{a}_{5}}$，${{a}_{6}}$成等比数列．

$(1)$求$\{{{a}_{n}}\}$的通项公式；

$(2)$设${{S}_{n}}$为$\{{{a}_{n}}\}$的前$n$项和，求${{S}_{n}}$的最小值．

$(1)$${{a}_{n}}=2n-13$；

$(2)$$-36$

$(1)$设$\{{{a}_{n}}\}$的公差为$d$，

则${{a}_{2}}=-11+d$，${{a}_{5}}=-11+4d$，${{a}_{6}}=-11+5d$，

依题意，$a_{5}^{2}={{a}_{2}}{{a}_{6}}$，

即${{(-11+4d)}^{2}}=(-11+d)(-11+5d)$，

整理得，$11d(d-2)=0$，

解得，$d=2$或$d=0$（舍$)$，

$\therefore {{a}_{n}}=-11+2(n-1)=2n-13$；

$(2)$${{S}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{n}}}{2}\times n=\dfrac{-11+2n-13}{2}\times n={{n}^{2}}-12n$，

$\because {{S}_{n}}={{n}^{2}}-12n={{(n-6)}^{2}}-36 \geqslant -36$，

当且仅当$n=6$时，等号成立，

$\therefore {{S}_{n}}$的最小值为$-36$．