某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级.
$(1)$已知该公司甲部门有$3$名负责人，乙部门有$4$名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取$3$名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为$X$，求$X$的最有可能的取值：
$(2)$该公司统计了七个部门测试的平均成绩$x($满分$100$分）与绩效等级优秀率$y$，如下表所示：

根据数据绘制散点图，初步判断，选用$y=\lambda {\rm e}^{cx}$作为回归方程.令$z=\ln y$，经计算得$\overline{z}=-0.642,\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{7}{x}_{i}{z}_{i}-7\overline{x}\overline{z}}{\sum\limits_{i=1}^{7}{x}_{i}^{2}-7{\overline{x}}^{2}}{\approx }0.02 $.
$($ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为$60$，估计其绩效等级优秀率；
$($ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩$x\sim N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$，其中$\mu $近似为样本平均数$\overline{x},\sigma ^{2}$近似为样本方差$s^{2}$.经计算$s\approx 20$，求某个部门绩效等级优秀率不低于$0.78$的概率.
参考公式与数据：①$\ln 0.15\approx -1.9$，${\rm e}^{1.2}\approx 3.32$，$\ln 5.2\approx 1.66$.
②线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中，$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{x}_{i}{y}_{i}}-n\overline{xy}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{x}_{i}^{2}}-n\overline{x}^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
③若随机变量$X\sim N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$，则$P\left(\mu -\sigma\ \ \lt X \lt \mu +\sigma \right)=0.6826,P\left(\mu -2\sigma\ \ \lt X \lt \mu +2\sigma \right)=0.9544$，$P\left(\mu -3\sigma\ \ \lt X \lt \mu +3\sigma \right)=0.9974$.

$(1)$ $1$
$(2)(i)0.498$
$(ⅱ)0.1587$

$(1)$依题意，随机变量$X$服从超几何分布，$X=0$，$1$，$2$，$3$，
$P\left(X=0\right)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{0}\cdot {\rm C}_{4}^{3}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{4}{35},P\left(X=1\right)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{4}^{2}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{18}{35},P\left(X=2\right)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{2}\cdot {\rm C}_{4}^{1}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{12}{35},P\left(X=3\right)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{3}\cdot {\rm C}_{4}^{0}}{{\rm C}_{7}^{3}}=\dfrac{1}{35}$.
由此可得$P\left(X=1\right)=\dfrac{18}{35}$最大，即$X=1$的可能性最大，故$X$最有可能的取值为$1$；
$(2)\left(i\right)$依题意，$y=\lambda \cdot {\rm e}^{\alpha }$两边取对数，得$\ln y=cx+\ln \lambda $，
即$z=cx+\ln \lambda $，其中$\overline{x}=63$，
由提供的参考数据，可知$c=0.02$，又$-0.642=0.02\times 63+\ln \lambda $，故$\ln \lambda \approx -1.9$，
由提供的参考数据，可得$\lambda \approx 0.15$，故$\hat{y}=0.15\cdot {{\rm e}}^{0.02x}$，
当$x=60$时，$j\approx 0.498$；
$\left(ii\right)$由$\left(i\right)$及提供的参考数据可知，$\mu \approx \overline{x}=63$，$\sigma \approx s\approx 20.y\geqslant 0.78$，
即$0.15\cdot {\rm e}^{0.02x}\geqslant 0.78$，可得$0.02x\geqslant \ln 5.2$，即$x\geqslant 83$.
又$\mu +\sigma =83$，且$P\left(\mu -\sigma\ \ \lt X \lt \mu +\sigma \right)=0.6826$，
由正态分布的性质，得$P(x\geqslant 83)=\dfrac{1}{2}[1-P(\mu -\sigma \lt x\lt \mu +\sigma )]=0.1587$，
记“绩效等级优秀率不低于$0.78$”为事件$A$，则$P\left(A\right)=P\left(x\geqslant 83\right)=0.1587$，
所以绩效等级优秀率不低于$0.78$的概率等于$0.1587$.