如图$(1)$所示，已知点$B$在抛物线$y={{x}^{2}}$上，过$B$作$BA\perp x$轴于点$A$，且$OA=a$．将曲边三角形$OAB$如图$(2)$所示放置，并将曲边三角形$OAB$沿平面$OAB$的垂线方向平移一个单位长度（即$A{{A}_{1}}=1$），得到相应的几何体$OAB-{{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}$．取一个底面面积为${{a}^{2}}$高为$a$的正四棱锥$S-MNPQ$放在平面$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$上如图$(3)$所示，这时，平面$O{{O}_{1}}S\text{//}$平面$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$，现用平行于平面$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形$CDEF$，四边形${{M}_{1}}N,{{P}_{1}}{{Q}_{1}}$，截面与平面$O{{O}_{1}}S$的距离为${{x}_{0}}\left( 0\lt {{x}_{0}}\lt a \right)$），试用祖暅原理，求曲边三角形$OAB$的面积为$(\qquad)$．

$\\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$

$\\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}$

${{a}^{3}}$

${{a}^{2}}$

由题意得，在图$(2)$中，当$OC={{x}_{0}}$时，$CD=x_{0}^{2}$，而$CF=A{{A}_{1}}=1$，

则矩形$CDEF$的面积为$CD\cdot CF=x_{0}^{2}$，

在正四棱锥$S-MNPQ$中，截面四边形${{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}{{Q}_{1}}$为正方形，其中心为${{G}_{1}}$，

令正方形$MNPQ$的中心为$G$，则点$S,{{G}_{1}},G$共线，

连接${{G}_{1}}{{Q}_{1}},GQ$，$S{{G}_{1}}={{x}_{0}},SG=a$，如图

平面${{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}{{Q}_{1}}//$平面$MNPQ$，平面${{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}{{Q}_{1}}\cap $平面$SGQ={{G}_{1}}{{Q}_{1}}$，平面$MNPQ\cap $平面$SGQ=GQ$，因此${{G}_{1}}{{Q}_{1}}\parallel GQ$，$\dfrac{{{Q}_{1}}{{M}_{1}}}{QM}=\dfrac{S{{Q}_{1}}}{SQ}=\dfrac{S{{G}_{1}}}{SG}=\dfrac{{{x}_{0}}}{a}$，

于是$\dfrac{S_{M_1N_{1}P_{1}Q_{1}}}{S_{MNPQ}}=\dfrac{|Q_{1}M_{1}|^{2}}{|QM|^{2}}=\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}$，

而${{S}_{MNPQ}}={{a}^{2}}$，则$S_{M_1N_{1}P_{1}Q_{1}}=x_{0}^{2}=S_{CDEF}$，

由祖暅原理知$V_{OAB-O_1A_{1}B_{1}}=V_{S-MNPQ}=\dfrac{1}{3}a^{2}\cdot a=\dfrac{a^{3}}{3}$，

而几何体$OAB-{{O}_{1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}$可视为以曲边三角形$OAB$为底面，$A{{A}_{1}}$为高的柱体，

其体积为$V_{OAB-O_1A_{1}B_{1}}=S_{OAB}\cdot AA_{1}=S_{OAB}$，

$\therefore $ 曲边三角形的面积为${{S}_{OAB}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$

故选：$\rm A$