如图$1$，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=a{{x}^{2}}+2x+c$经过点$(2,8)$，且与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B(6,0)$，点$P$是第一象限抛物线上一动点，过$P$作$PQ\text{//}y$轴，交$AB$于点$Q$．

$(1)$求抛物线的解析式；

$(2)$如图$2$，过点$P$作$PR\perp AB$于点$R$，当$\triangle PQR$的周长最大时，动点$M$在直线$PQ$上运动，动点$N$在$y$轴上运动，且$MN\text{//}x$轴，连接$BM,NQ$，求$B M+N Q$的最小值；

$(3)$如图$3$，点$C$在第一象限内，连接$AC,OC$，且$AC\perp AO$，将线段$CO$绕点$C$逆时针旋转$90{}^\circ $得到线段$CD$，连接$OD,AD,OD$交$AB$于点$E$，点$F$在第二象限内直线$AB$上，连接$OF,BD$，若$\angle OFB=\angle BAD$，$\angle BDO=2\angle AOC$，$PQ=\dfrac{\sqrt{2}}{6}EF$，请直接写出点$P$的坐标．

$(1)$$y=-\\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+6$；

$(2)$$3\\sqrt{5}$；

$(3)$$P\\left( 3+\\sqrt{5},5-\\sqrt{5} \\right)$或$P\\left( 3-\\sqrt{5},5+\\sqrt{5} \\right)$

$(1)$由题可知$\begin{cases} 8=4a+4+c \\ 0=36a+12+c \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-\dfrac{1}{2} \\ c=6 \\ \end{cases}$

$\therefore $ 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+6$

$(2)$由题可知，$A\left( 0,6 \right)$

$\therefore OA=OB=6$,得三角形$OAB$为等腰直角三角形，

$\because PQ\text{//}y$，$PR\perp AB$

$\therefore $ 三角形$\triangle PQR$为等腰直角三角形，

$\therefore $ 其周长为$PR+RQ+PQ=\left( \sqrt{2}+1 \right)PQ$

$\therefore $ 周长最大，即$PQ$最长，

$\because A\left( 0,6 \right)$，$B(6,0)$

$\therefore AB:y=6-x$

不妨设：$P\left( t,-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+6 \right),Q\left( t,6-t \right)$

$\therefore PQ=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+6-\left( 6-t \right)=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+3t$

$\therefore $ 显然当$t=\dfrac{-3}{2\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)}=3$时，$PQ$最长，此时$\triangle PQR$的周长最大

故$P\left( 3,\dfrac{15}{2} \right),Q\left( 3,3 \right)$

如图，作点$H\left( 3,0 \right),K\left( -3,0 \right)$，连接$NH,NK,QK$,

显然$MN$平行且等于$HB$

$\therefore $ 四边形$MNHB$为平行四边形，

$\therefore NH=MB$

显然$y$轴为$KH$中垂线，

$\therefore NH=NK$

故$BM+NQ=NK+NQ$

显然$BM+NQ=NK+NQ\ge KQ=\sqrt{{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=3\sqrt{5}$

$\therefore B M+N Q$的最小值为$3\sqrt{5}$；

$(3)$如图，过点$D$作$x$轴垂线$GW$分别交$x$轴和直线$AC$于点$W,G$，

$\therefore \angle DCG+\angle CDG={{90}^{^\circ }}$

由题可知：$\angle DCG+\angle ACO={{90}^{^\circ }},\angle AOC+\angle ACO={{90}^{^\circ }},OC=CD$

$\therefore \angle DCG=\angle AOC,\angle ACO=\angle CDG$

故$\triangle AOC\cong \triangle CGD\left( ASA \right)$

$\therefore CG=OA=6,DG=AC$

设,$\angle AOC=\alpha ,AC=DG=m$

$\therefore DW=WG-DG=6-m,BW=OW-OB=AG-OB=a$

显然$\angle AOB={{90}^{^\circ }},\angle CDO=\angle COD={{45}^{^\circ }}$

$\therefore \angle BOD={{45}^{^\circ }}-\alpha $

显然，$\angle BDO=2\angle AOC=2\alpha $

$\therefore \angle DBW=\angle BOD+\angle ODB={{45}^{^\circ }}+\alpha $

$\because \angle DWB={{90}^{^\circ }}$

$\therefore \angle BDW={{90}^{^\circ }}-\angle DBW={{45}^{^\circ }}-\alpha $

$\therefore \angle BDW=\angle BOD={{45}^{^\circ }}-\alpha $

$\because \angle DWB=DWO$

$\therefore \triangle DWB\sim \triangle OWD$

$\therefore \dfrac{DW}{OW}=\dfrac{BW}{DW}\Rightarrow \dfrac{6-a}{6+a}=\dfrac{a}{6-a}$

解得$a=2$

$\therefore BW=2,DW=4$

$\therefore BD=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5},OD=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=4\sqrt{5}$

$\because \angle ABO={{45}^{^\circ }},\angle DBW={{45}^{^\circ }}+\alpha $

$\therefore \angle DBE={{180}^{^\circ }}-\angle ABO-\angle DBW={{90}^{^\circ }}-\alpha $

$\angle DEB=\angle ABO+\angle DOB={{90}^{^\circ }}-\alpha $

$\therefore \angle DEB=\angle DBE={{90}^{^\circ }}-\alpha $

$\therefore DE=DB=2\sqrt{5}$

$\therefore OE=DE=BD$

又$\because \angle OEF=\angle DEB=\angle DBE$，$\angle OFB=\angle BAD$

$\therefore \triangle EOF\cong \triangle BDA\left( AAS \right)$

$\therefore EF=AB=\sqrt{2}OA=6\sqrt{2}$

$\therefore PQ=\dfrac{\sqrt{2}}{6}EF=2$

由$(2)$可知$PQ=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+3t=2$

解得$t=3\pm \sqrt{5}$

$\therefore $ 当$t=3+\sqrt{5}$时

$y=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+6=5-\sqrt{5}$

此时$P\left( 3+\sqrt{5},5-\sqrt{5} \right)$；

当$t=3-\sqrt{5}$时

$y=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+6=5+\sqrt{5}$，

此时$P\left( 3-\sqrt{5},5+\sqrt{5} \right)$$.$