超弹性碰撞是一个精彩的演示实验，把一个弹性小球放在一个弹性大球上，使它们自由落下，当它们落到弹性的水平地面上反弹时，小球跳得比原来高许多倍。某同学演示这个实验时，将$A$、$B$两个大小不同的弹力球从离水平地面$h$高处由静止同时释放，如图所示。释放时$A$、$B$两球（均可视为质点）相互接触且球心连线竖直，碰撞过程中均无机械能损失，若$A$球反弹后离碰撞点的最大高度为$H=4\;\rm h$，则$A$、$B$两球的质量之比为$(\qquad)$

$1:3$

$2:3$

$1:2$

$3:4$

两球下落过程中根据系统机械能守恒有$\left( {{m}_{\text{A}}}+{{m}_{\text{B}}} \right)gh=\dfrac{1}{2}\left( {{m}_{\text{A}}}+{{m}_{\text{B}}} \right)v_{0}^{2}$

解得${{v}_{0}}=\sqrt{2gh}$

设两个小球触地碰撞后，$A$的速度大小为${{v}_{1}}$，$B$的速度大小为${{v}_{2}}$，$B$球与地面碰撞后速度等大反向，然后与$A$发生弹性碰撞，取向上为正方向，根据动量守恒定律可得${{m}_{\text{B}}}{{v}_{0}}-{{m}_{\text{A}}}{{v}_{0}}={{m}_{\text{A}}}{{v}_{1}}+{{m}_{\text{B}}}{{v}_{2}}$

根据系统机械能守恒定律有$\dfrac{1}{2}{{m}_{\text{B}}}v_{0}^{2}+\dfrac{1}{2}{{m}_{\text{A}}}v_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}{{m}_{\text{A}}}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}{{m}_{\text{B}}}v_{2}^{2}$

$A$碰后由机械能守恒得${{m}_{\text{A}}}gH=\dfrac{1}{2}{{m}_{\text{A}}}v_{1}^{2}$

联立解得$h={{\left( \dfrac{{{m}_{\text{A}}}+{{m}_{\text{B}}}}{3{{m}_{\text{B}}}-{{m}_{\text{A}}}} \right)}^{2}}H$

由题知$H=$$4$$h$

联立解得${{m}_{\text{A}}}:{{m}_{\text{B}}}=1:3$

故$\rm A$正错，$\rm BCD$错误。

故选$\rm A$。