示波器中的示波管是利用电场来控制电子的运动。若电子从加速电场射出后沿平行极板的方向射入偏转电场，如图甲所示，偏转电场可看作匀强电场，板间电压为$U'$，极板长度为$L$，板间距为$d$，求电子射出偏转电场时速度偏转角$\theta $的正切值；

电子射出偏转电场时速度偏转角$\\theta $的正切值为$\\dfrac{U'L}{2dU}$；

在加速电场中，根据动能定理有$eU=\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}$，

解得$v=\sqrt{\dfrac{2Ue}{m}}$，

在偏转电场中，设飞行时间为$t$，加速度为$a$，竖直分速度为${{v}_{y}}$，则

水平方向有$L=vt$，

竖直方向有${{v}_{y}}=at$，

根据牛顿第二定律有：$a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{Eq}{m}=\dfrac{eU'}{md}$，

根据速度的分解有：$\tan \theta =\dfrac{{{v}_{y}}}{{{v}_{0}}}$，

联立可得：$\tan \theta =\dfrac{U'L}{2dU}$；

电视机显像管是利用磁场来控制电子的运动，若电子从加速电场射出后沿直径方向进入半径为$r$的圆形磁场区域，该磁场的磁感应强度大小为$B$、方向垂直纸面向里，如图乙所示，设电子射出磁场时的速度方向与射入时相比偏转了$\theta '$角，请推导$\tan \dfrac{\theta '}{2}$的表达式；

设电子射出磁场时的速度方向与射入时相比偏转了$\\theta '$角，则$\\tan \\dfrac{\\theta '}{2}=rB\\sqrt{\\dfrac{e}{2mU}}$；

电子在偏转磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；粒子运动轨迹如图所示：

设轨迹圆的半径为$R$，则有$evB=m\dfrac{{{v}^{2}}}{R}$，

由几何关系得$\tan \dfrac{\theta '}{2}=\dfrac{r}{R}$，

联立可得$\tan \dfrac{\theta '}{2}=rB\sqrt{\dfrac{e}{2mU}}$；

磁场与电场有许多相似之处。电场强度的定义式$E=\dfrac{F}{q}$，请你由此类比，从运动电荷所受的洛伦兹力${{F}_{L}}$出发，写出磁感应强度$B$的定义式；并从宏观与微观统一的思想出发构建合适的模型，论证该定义式与$B=\dfrac{{{F}_{安}}}{IL}$这一定义式的一致性。

见解析

由洛伦兹力公式得${{F}_{L}}=qvB$，

可知$B=\dfrac{{{F}_{L}}}{qv}$，

根据题意构建模型如图：

在一匀强磁场中有一段固定的长为$L$的直导线，已知导线横截面积为$S$，单位体积内自由电荷数为$n$，导线内自由电荷定向运动速率为$v$，磁场的磁感应强度为$B$，

则导线内自由电荷数$N=nSL$，

安培力与洛伦兹力的关系为${{F}_{安}}=N{{F}_{L}}$，

导线内电流的微观表达式$I=nqSv$，

联立上面三个式子可得$B=\dfrac{{{F}_{L}}}{qv}=\dfrac{{{F}_{安}}}{Nqv}=\dfrac{{{F}_{安}}}{qv\cdot nSL}=\dfrac{{{F}_{安}}}{IL}$，

即定义式$B=\dfrac{{{F}_{L}}}{qv}$与$B=\dfrac{{{F}_{安}}}{IL}$这一定义式是一致的。