从$M$下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为$\theta $，求$\theta $的正弦值；

从$M$下端面出射的光与竖直方向的最大偏角$\\theta $的正弦值为$\\sqrt{{{n}^{2}}-1}$；

设激光在$M$内发生全反射的入射角为$\alpha $，从下端由$M$射出时的入射角为$\beta $，光路图如图

激光在$M$内发生全反射，故$\sin \alpha \geqslant \dfrac{1}{n}$

由几何关系得：$\alpha +\beta =90{}^\circ $

则$\sin \beta \leqslant \dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}-1}}{n}$

根据折射定律得：$n=\dfrac{\sin \theta }{\sin \beta }$

则最大偏角的正弦值为$\sin \theta =\sqrt{{{n}^{2}}-1}$

被测物体自上而下微小移动，使$N$下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮，玻璃丝下端面到被测物体距离$b$的相应范围（只考虑在被测物体表面反射一次的光线）。

玻璃丝下端面到被测物体距离$b$的相应范围为$\\dfrac{d}{2}\\sqrt{\\dfrac{2-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}} \\leqslant b \\leqslant \\dfrac{d+2a}{2}\\sqrt{\\dfrac{2-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}}$。

做光路图如图：

当光线刚好能照到$N$下端最左侧时，玻璃丝下端面到被测物体距离${{b}_{1}}=\dfrac{d}{2\tan \theta }$

光线刚好能照全部覆盖$N$下端时，玻璃丝下端面到被测物体距离${{b}_{2}}=\dfrac{d+2a}{2\tan \theta }$

$\sin \theta =\sqrt{{{n}^{2}}-1}$

则$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta }{\cos \theta }=\dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}-1}}{\sqrt{1-({{n}^{2}}-1)}}=\sqrt{\dfrac{{{n}^{2}}-1}{2-{{n}^{2}}}}$

则玻璃丝下端面到被测物体距离的范围为：$\dfrac{d}{2}\sqrt{\dfrac{2-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}} \leqslant b \leqslant \dfrac{d+2a}{2}\sqrt{\dfrac{2-{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}}$。