求小物块运动至轨道最底端时，轨道对其支持力的大小；

$3\\;\\rm N$；

由动能定理可得$mgR= \dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}-0$

小物块运动至轨道最底端时，由圆周运动公式可得$F_{{N}}-mg=m\dfrac{v_{A}^{2}}{R}$

联立解得$F_{N}=3\;\rm N$；

若木板在水面上运动时水的阻力忽略不计，则小物块与木板达到共速时（木板尚未到达水池右端），求小物块与木板左端的距离；

$1.875\\;\\rm m$；

由动量守恒定律可得$mv_{A}=(M+m)v_{共}$

由动能定理可得$- \mu mgx=\dfrac{1}{2}\text{(}M+m\text{)}v_{共}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}$

小物块与木板左端的距离$x=1.875\;\rm m$；

若木板在水面上运动时，水对木板的阻力$f$与木板的速度$v$成正比，即$f=kv$，其中$k=0.25\;\rm kg/s$。最终木板恰好运动至水池右端速度减为零，且小物块也处在木板的右端，求水池的长度$L_{AD}$和整个过程中木板的最大速度$v_\rm{m}$。

$4\\;\\rm m$，$2\\;\\rm m/s$。

对小物块和木板组成的整体，由动量定理可得$−kv \times t=0 − mv_{A}$

整理得$−k \times x'=0 − mv_{A}$

水池的长度$L_{AD}=x'+L=4\;\rm m$

对木板受力分析可得$\mu mg − kv=Ma$

当$a=0$时，木板的速度最大，最大速度$v_\rm{m}=2\;\rm m/s$。