求玻璃砖的折射率；

$\\sqrt{2}$；

根据题意得出光路图如图所示

根据几何关系可得$\sin\alpha=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$，$\cos\gamma=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$，$\alpha=\beta$

可得$\beta=45^\circ $，$\gamma=30^\circ $

根据折射定律$n=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\sqrt{2}$；

在该横截面沿圆弧任意改变入射点的位置和入射方向，使激光能在圆心$O$点发生全反射，求入射光线与$x$轴之间夹角的范围。

$(0, 45^\\circ)$或$(135^\\circ , 180^\\circ)$

发生全反射的临界角满足$\sin C= \dfrac{1}{n}$

可得$C=45^\circ $

要使激光能在圆心$O$点发生全反射，激光必须指向$O$点射入，如图所示

只要入射角大于$45^\circ $，即可发生全反射，则使激光能在圆心$O$点发生全反射，入射光线与$x$轴之间夹角的范围$(0, 45^\circ)$。由对称性可知，入射光线与$x$轴之间夹角的范围还可以为$(135^\circ , 180^\circ)$。