求第$1$个滑块与第$2$个滑块碰撞前瞬间，第$1$个滑块的速度大小。

$v_{1}=\\sqrt{(\\beta-4)\\mu gL}$

滑块$1$运动时，对木板的摩擦力为$f_{1}=2\mu mg$

地面对木板的摩擦力为$f_{2}=4\mu nmg$

所以此过程中木板保持不动；每个滑块之间距离为$L$，所以对滑块$1$根据动能定理有$- 2\mu mgL=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

解得$v_{1}=\sqrt{(\beta-4)\mu gL}$

记木板滑动前第$j$个滑块开始滑动时的速度为$v_{j}$，第$j+1$个滑块开始滑动时的速度为$v_{j+1}$。用已知量和$v_{j}$表示$v_{j+1}$。

$v_{j+1}=\\dfrac{j}{j+ 1}\\sqrt{v_{j}^{2}-4\\mu gL}$

滑块间碰撞时间极短，碰后滑块粘在一起运动，若长木板不动，第$j$个滑块开始运动时加速度为$a_{j}=\dfrac{2\mu \cdot jmg}{jm}=2\mu g$

根据运动学公式，第$j$个滑块开始滑动到和第$j+1$个滑块碰撞时，有$v_{j}^{2} − v_{j}'^{2}=2a_{j}L$

第$j$个滑块和第$j+1$个滑块碰撞过程中动量守恒有$jmv'_{j}=(j+1)mv_{j+1}$

联立可得$v_{j+1}=\dfrac{j}{j+1}\sqrt{v_{j}^{2}-4\mu gL}$

若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求$\beta$的值。（参考公式：$1^{2}+2^{2}+\cdot \cdot \cdot+k^{2}= \dfrac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$）

$\\beta=\\dfrac{4n(2n+1)(8n^{2}+10n+ 5)}{3(2n-1)}$

当第$k$个木块开始滑动时，木板恰好要滑动，此时有$2\mu⋅kmg=\mu (nm+3\;\rm nm)g$

解得$k=2n$（$n$为整数）

则第$k+1$个（即$2n+1$）木块开始滑动时，木板开始滑动，要刚好不发生下一次碰撞，假设木板和剩下的木块不发生相对滑动，则$2\mu (2n+1)mg − \mu (nm+3\;\rm nm)g=[nm+(n − 1)m]a_{木}$

则$a=\dfrac{2\mu g}{2n-1} \lt 2\mu g$

木板和剩下的木块不发生相对滑动。

对前面$k+1$个（即$2n+1$）木块，有$a_{k+1}=\dfrac{2\mu \cdot (k+1)mg}{(k+1)m}=2\mu g$

木板开始滑动时，刚好不发生下一次碰撞，则对前面$k+1$个木块和$k+2$个木块共速，且相对位移恰好为$L$，则$\dfrac{{v_{k+1}}^{2}-{v_{共}}^{2}}{2a_{k+1}}-\dfrac{{v_{共}}^{2}}{2a}=L$

则$v_{k+1}^{2}=2nv_{共}^{2}+4\mu gL$

又$v_{共}=at=v_{k+1} − 2\mu gt$

则$v_{共}=\dfrac{v_{k+1}}{2n}$

则${v_{k+1}}^{2}=\dfrac{8n\mu gL}{2n-1}$

$j=1$时，第一个滑块开始运动的速度$v_{0}=\sqrt{\beta\mu gL}$，则$v_{0}^{2}=\beta\mu gL$

$j=2$时，根据动量守恒定律可得$mv_{1}=2mv_{2}$

可得第$2$个滑块开始运动的速度$v_{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(\beta-4)\mu gL}$，

则$4v_{2}^{2}=\beta\mu gL-4\mu gL$

由第二问可得，$(j+1)^{2}v_{j+1}^{2}=j^{2}v_{j}^{2}-4j^{2}\mu gL$，则对第$3$个滑块到第$k+1$个滑块有$9v_{3}^{2}=4\times v_{2}^{2}-4\times4\mu gL$

$16v_{4}^{2}=9v_{3}^{2}-9\times4\mu gL$

$25v_{5}^{2}=16\times v_{4}^{2}-16\times4\mu gL$

$\cdots\cdots$

$(k+1)^{2}v_{k+1}^{2}=k^{2}v_{k}^{2}-k^{2}\times4\mu gL$

将从$j=2$到$j=k+1$相关方程累积求和可得${(k+1)}^{2}{v_{k+1}}^{2}=\beta\mu gL-4\mu gL\lbrack 1^{2}+2^{2}+3^{3}+4^{2}+\cdots+k^{2}\rbrack=\beta\mu gL-\dfrac{2k(k+1)(2k+1)}{3}\mu gL$

联立${v_{k+1}}^{2}=\dfrac{8n\mu gL}{2n-1}$，$k=2n$

可得$\beta=\dfrac{4n(2n+1)(8n^{2}+10n+5)}{3(2n-1)}$