若物块$C$质量是$0.8\;\rm kg$，求轻绳拉力大小；

$8\\;\\rm N$；

滑板$B$受到地面的最大静摩擦$f_{B\max}=\mu _{1}(m_{1}+m_{2})g=10\;\rm N$

而$G_{C}=m_{C}g=8\;{\rm N}\lt f_{B\max}$

故$A$、$B$均不动。轻绳拉力$T_{1}=G_{C}=8\;\rm N$

若物块$C$质量是$3\;\rm kg$，求物块$C$下落的时间；

$1\\;\\rm s$；

若物块$C$质量是$3\;\rm kg$，假设$ABC$一起匀加速，设细绳拉力为$T_{2}$，则有对$C$$m_{C}g-T_{2}=m_{C}a$

对$AB$整体$T_{2} − \mu _{1}(m_{1}+m_{2})g=(m_{1}+m_{2})a$

解得$a=2.5\;\rm m/s^{2}$

此时对$A$分析$f_{A}=m_{2}a=5\;{\rm N}\gt f_{A\max}=2\;\rm N$

说明$A$、$B$发生相对滑动。

设细绳拉力为$T$，$BC$的加速度为$a_{BC}$，对$C$$m_{C}g-T=m_{C}a_{BC}$

对$B$$T-\mu _{1}(m_{1}+m_{2})g-\mu _{2}m_{2}g=m_{1}a_{BC}$

解得$a_{BC}=3\;\rm m/s^{2}$

$C$下落时有$h=\dfrac{1}{2}a_{BC}t^{2}$

解得$t=1\;\rm s$

若物块$C$质量是$3\;\rm kg$，求最终$A$距$B$右端的长度。

$\\dfrac{63}{80}\\ \\text{m}$

$A$滑动时有$\mu _{2}m_{2}g=m_{2}a_{A}$

解得$a_{A}=1\;\rm m/s^{2}$

$C$落地时$v_{A}=a_{A}t=1\;\rm m/s$，$v_{B}=a_{BC}t=3\;\rm m/s$

$C$落地后对$B$有$\mu _{1}(m_{1}+m_{2})g+\mu _{2}m_{2}g=m_{1}a_{B}$

解得$a_{B}=4\;\rm m/s^{2}$

设经过$\Delta t$时间$AB$共速，有$v_{共}=v_{A}+a_{A}\Delta t$，$v_{共}=v_{B} − a_{B}\Delta t$

解得$v_{共}=1.4\;\rm m/s$，$\Delta t=0.4\;\rm s$

由于$\mu _{1}\gt \mu _{2}$，故$AB$共速后仍会发生相对滑动，此时$a_{A}=1\;\rm m/s^{2}$

对滑板$B$有$\mu _{1}(m_{1}+m_{2})g-\mu _{2}m_{2}g=m_{1}a_{B}'$

解得$a_{B}'=\dfrac{8}{3}\ \text{m}/\text{s}^{2}$

作出$AB$运动的$v-t$图像如图

当$AB$均静止时，$A$距$B$右端的长度$x=\dfrac{1}{2}v_{A}t+\dfrac{v_{A}+v_{共}}{2}\Delta t-\dfrac{v_{共}}{2}(t+\Delta t)-\left( \dfrac{v_{共}^{2}}{2a_{A}}-\dfrac{v_{共}^{2}}{2a_{B}^{'}} \right)$

解得$x=0.7875\;\rm \text{m}=\dfrac{63}{80}\ \text{m}$