| 4.2.3 二项分布与超几何分布 题目答案及解析
稿件来源：高途
| 4.2.3 二项分布与超几何分布题目答案及解析如下，仅供参考！
选择性必修二
第四章 概率与统计
4.2 随机变量
4.2.3 二项分布与超几何分布
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在$11$月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下$2\times 2$列联表．
| 性别 | 感冒情况 | 合计 | |
| 不感冒 | 感冒 | ||
| 男性 | $30$ | $15$ | $45$ |
| 女性 | $45$ | $10$ | $55$ |
| 合计 | $75$ | $25$ | $100$ |
（1）请根据$2\times 2$列联表，并依据小概率值$\alpha =0.05$的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；
（2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取$5$人，再从这$5$人中选出$2$人分享发言，记分享发言中女性的人数为$X$，求随机变量$X$的分布列及数学期望．
附：${\chi }^{2}=\dfrac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$．
| $\alpha$ | $0.1$ | $0.05$ | $0.01$ | $0.005$ | $0.001$ |
| $x_{\alpha }$ | $2.706$ | $3.841$ | $6.635$ | $7.879$ | $10.828$ |
（1）认为性别与感冒情况无关．
（2）分布列见解析，$\\dfrac{6}{5}$．
"]]（1）零假设为$H_{0}$：性别与感冒情况不具有相关性．
根据列联表中的数据，
计算$\chi ^{2}=\dfrac{100{\times (30\times 10-45\times 15)}^{2}}{75\times 25\times 45\times 55}=\dfrac{100}{33}\approx 3.030\lt 3.841=x_{0.05}$，
根据小概率值$\alpha =0.05$的独立性检验，没有充分证据推断$H_{0}$不成立，
即认为性别与感冒情况无关．
（2）根据分层随机抽样原理知，男性有$5\times \dfrac{30}{75}=2$（人$)$，女性有$5-2=3$（人$)$，
所以随机变量$X$的所有可能取值为：$0,1,2$；
计算$P(X=0)=\dfrac{{\rm C}_{2}^{2}}{{\rm C}_{5}^{2}}=\dfrac{1}{10}$，$P(X=1)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}}{{\rm C}_{5}^{2}}=\dfrac{3}{5}$，$P(X=2)=\dfrac{{\rm C}_{3}^{2}}{{\rm C}_{5}^{2}}=\dfrac{3}{10}$，
所以$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P$ | $\dfrac{1}{10}$ | $\dfrac{3}{5}$ | $\dfrac{3}{10}$ |
所以数学期望为$E(X)=0\times \dfrac{1}{10}+1\times \dfrac{3}{5}+2\times \dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{5}$．
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