小明同学将篮球以速度 $v_{1}$ 从离地高度为 $h_{1}$ 处投出。篮球以速度 $v_{2}$ 进入离地高度为 $h_{2}$ 篮筐，如图所示。运动过程中篮球离地最大高度为 $H$。空气阻力不能忽略。

①篮球从出手到进入篮筐过程中，损失的机械能$(\qquad)$

$\rm A$．$mgH – mgh_{2}$                  

$\rm B$．$mgh_{1} – mgh_{2}$

$\rm C$．$mgH – mgh_{2} − \dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$          

$\rm D$．$mgh_{1}-mgh_{2}+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$

②篮球从最高点沿着弧线下降过程中，请在图中分别画出篮球速度$v$的方向和所受合外力$F$的方向                ；

$\\rm D$ 见解析

①篮球从出手到进入篮筐过程中，损失的机械能$\Delta E=\left( mgh_{1}+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2} \right)-\left( mgh_{2}+\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2} \right)=mgh_{1}-mgh_{2}+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$

故选：$\rm D$；

②篮球从最高点沿着弧线下降过程中，篮球速度 $v$ 的方向为轨迹上切线方向，所受合外力$F$的方向指向轨迹凹的一侧，如图所示

一篮球以水平初速度$v_{0}$抛出（不考虑篮球的自转和空气阻力），分别测得$0.2\;\rm s$末、$0.4\;\rm s$末和$0.6\;\rm s$末的速度矢量$v_{1}$、$v_{2}$和$v_{3}$，并在方格纸内画出了如图所示的速度矢量图，重力加速度$g$ $=10\;\rm m/s^{2}$。则$v_{0}=$                 $\;\rm m/s$，$0.6\;\rm s$内篮球的位移$s$ $=$                 $\;\rm m$；

$0.2\;\rm s$末篮球的竖直速度为$v_{y}=gt=2\;\rm m/s$

由速度矢量图可得$\dfrac{10}{5}=\dfrac{v_{0}}{v_{y}}$

解得$v_{0}=4\;\rm m/s$

$0.6\;\rm s$内篮球的位移$s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

其中

$x=v_{0} \times 0.6\;\rm s=2.4\;\rm m$，$y=\dfrac{1}{2}g \times ({0.6\;\rm s)}^{2}=1.8\;\rm m$

联立，解得$s=3\;\rm m$；

将篮球从离地$H$高度处由静止开始下落，经过一次与地面的碰撞后，竖直反弹至最高处$h$ $=$$\dfrac{3}{4}$$H$。若篮球和地面碰撞没有能量损失，运动过程中空气阻力保持不变。

①空气阻力和重力之比等于                 。如果让篮球连续不断的上下弹跳，最后会停止在地面，则篮球通过的总路程$s=$                 。

②计算：当篮球反弹至最高处$h$时，运动员对篮球施加一个竖直向下的冲量$I$，使得篮球与地面再次碰撞后恰好反弹至原来的$h$高度处。求$I$的大小                 。

①依题意篮球运动过程，由动能定理可得$(mg-f)H-(mg+f) \cdot \dfrac{3}{4}H=0$

解得$\dfrac{f}{mg}=\dfrac{1}{7}$

如果让篮球连续不断的上下弹跳，最后会停止在地面，则篮球通过的总路程满足$mgH − fs=0$

解得$s=7H$

②根据动量定理，可得

$I=mv$ – $0$

则动能$E_{\rm k}=\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{I^{2}}{2m}$

根据动能定理$- f \cdot 2h=0-\dfrac{1}{2}m{v}^{2}$

解得$I=2mg\sqrt{\dfrac{h}{7g}}$。