第一象限的电场强度大小$E$；

$\\dfrac{\\sqrt{3}mv_{0}^{2}}{6qh}$

粒子在电场中仅受电场力，做类平抛运动。沿$+x$方向做匀速直线运动，则有$2h=v_{0}t$

沿$-y$方向做匀加速直线运动，则有$\dfrac{\sqrt{3}}{3}h=\dfrac{1}{2}at^{2}$

由牛顿第二定律可得 $qE=ma$

联立解得$E=\dfrac{\sqrt{3}mv_{0}^{2}}{6qh}$

磁感应强度的大小$B$；

$\\dfrac{\\sqrt{3}mv_{0}}{2qh}$

由（$1$）可得粒子在$b$点沿$+x$方向的分速度大小为 $v_{0}$，沿$-y$方向的分速度大小$v_{y}$满足$v_{y}^{2}=2a \times \dfrac{\sqrt{3}}{3}h$

解得$v_{y}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}v_{0}$

可得粒子在$b$点的速度大小为$v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}v_{0}$

其方向与$x$轴成的夹角为$\theta$，则有$\tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

可得$\theta=30^\circ $

粒子在磁场中的运动的轨迹如图所示

设粒子做圆周运动的半径为$r$，由几何关系可得$r+r\sin$ $30^\circ=2\;\rm h$

解得$r=\dfrac{4}{3}h$

由洛伦兹力提供向心力可得$qvB=m\dfrac{v^{2}}{r}$

解得$B=\dfrac{\sqrt{3}mv_{0}}{2qh}$

矩形磁场区域的最小面积$S$。

$\\dfrac{16h^{2}}{3}$

最小的矩形磁场区域如图所示

由几何关系可得矩形的长为$2r=\dfrac{8}{3}h$

宽为$r+r\sin 30^\circ =2h$

解得$S=\dfrac{8h}{3} \times 2 h=\dfrac{16 h^{2}}{3}$