如果分别给长木板与物体水平向右和水平向左、大小均为$v_{0}$的初速度，从开始运动到二者的速度相等，物体在长木板上滑过的距离为多少？（假设该过程物体没有离开长木板）

$\\dfrac{44v_{0}^{2}}{27g}$

由题意知物体在长木板上向左做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得$\mu _{1}mg=ma_{1}$

解得$a_{1}=\dfrac{1}{2}g$

长木板向右做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得$\mu _{1}mg+\mu _{2}⋅2mg=ma_{2}$

解得$a_{2}=\dfrac{3}{4}g$

由于两物块的初速度大小相等，$a_{1}\lt a_{2}$，则长木板的速度先减为零，该过程所用的时间为$t_{1}=\dfrac{v_{0}}{a_{2}}=\dfrac{4v_{0}}{3g}$

物体的位移为$x_{1}=v_{0}t_{1}-\dfrac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2}=\dfrac{8v_{0}^{2}}{9g}$

长木板的位移为$x_{2}=\dfrac{v_{0}}{2}t_{1}=\dfrac{2v_{0}^{2}}{3g}$

此时物体的速度大小为$v_{1}=v_{0}-a_{1}t_{1}=\dfrac{1}{3}v_{0}$

方向水平向左，此后物体在长木板上继续向左做匀减速直线运动，物体与长木板之间的最大静摩擦力为$F_{{f}1}=\mu_{1}mg=\dfrac{1}{2}mg$

长木板与水平面间的最大静摩擦力为$F_{{f}2}=\mu_{2} \cdot 2mg=\dfrac{1}{4}mg \lt F_{f1}$

所以长木板向左做匀加速直线运动，直到二者共速，长木板的加速度大小为$a_{3}=\dfrac{F_{{f}1}-F_{{f}2}}{m}=\dfrac{1}{4}g$

假设共同的速度为$v$，该过程所用的时间为$t_{2}$，则$v=a_{3}t_{2}=v_{1}-a_{1}t_{2}$

解得$t_{2}=\dfrac{4v_{0}}{9g}$、$v=\dfrac{v_{0}}{9}$

该过程中，物体的位移为$x_{3}=\dfrac{v_{1}+v}{2}t_{2}=\dfrac{8v_{0}^{2}}{81g}$

长木板的位移为$x_{4}=\dfrac{v}{2}t_{2}=\dfrac{2v_{0}^{2}}{81g}$

由以上分析可知，整个过程中物体在长木板上滑过的距离为$\Delta x=x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=\dfrac{44v_{0}^{2}}{27g}$

如果在长木板上施加水平向右的恒力$F$，欲保证两物体不发生相对运动，求恒力$F$的取值范围；

$0 \\lt F \\leqslant \\dfrac{5}{4}mg$

当恒力$F$最大时，物体与长木板间的摩擦力达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律可得此时物体的加速度大小为$a_{4}=\dfrac{F_{{f}1}}{m}=\dfrac{1}{2}g$

对物体和长木板组成的整体由牛顿第二定律得$F_{\max}-F_{f2} =2ma_{4}$

解得$F_{\max}=\dfrac{5}{4}mg$

故欲保证物体与长木板间不发生相对运动，恒力$F$的取值范围为$0 \lt F \leqslant \dfrac{5}{4}mg$

如果长木板上施加水平向右、大小为$F=1.5mg$的恒力，为保证物体不离开长木板，则恒力作用的时间应满足什么条件？

$t_{3} \\leqslant 2\\sqrt{\\dfrac{5L}{3g}}$

当$F=1.5mg$时，物体与长木板发生相对滑动，物体的加速度为$a_{1}=\dfrac{1}{2}g$

方向水平向右，长木板的加速度为$a_{5}=\dfrac{F-F_{{f}1}-F_{{f}2}}{m}=\dfrac{3}{4}g$

方向水平向右，设经$t_{3}$时间撤去外力$F$，则此时物体的速度为$v_{2}=a_{1}t_{3}=\dfrac{1}{2}gt_{3}$

位移为$x_{5}=\dfrac{1}{2}a_{1}t_{3}^{2}=\dfrac{1}{4}gt_{3}^{2}$

长木板的速度为$v_{3}=a_{5}t_{3}=\dfrac{3}{4}gt_{3}$

位移为$x_{6}=\dfrac{1}{2}a_{5}t_{3}^{2}=\dfrac{3}{8}gt_{3}^{2}$

物体相对于长木板向左移动了$\Delta x=x_{6}-x_{5}=\dfrac{1}{8}gt_{3}^{2}$

撤去外力$F$后，物体仍以大小为$a_{1}$的加速度向右加速度运动，长木板向右减速运动，加速度大小为$a_{6}=\dfrac{F_{f1}+F_{\beta}}{m}=\dfrac{3}{4}g$

设又过了$t_{4}$时间二者具有相同的速度，此时二者相对静止，则有$v_{2}+a_{1}t_{4}=v_{3}-a_{6}t_{4}$

若此时物体恰好不从长木板上滑下，则有$v_{2}t_{4}+\dfrac{1}{2}a_{1}t_{4}^{2}+(L-\Delta x)=v_{3}t_{4}-\dfrac{1}{2}a_{6}t_{4}^{2}$

联立解得$t_{3}=2\sqrt{\dfrac{5L}{3g}}$

所以为了保证物体不离开长木板，恒力作用的时间应满足$t_{3} \leqslant 2\sqrt{\dfrac{5L}{3g}}$