一带正电微粒从静止开始经电压$U_{1}$加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为$U_{2}$。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为$45^\circ$，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为$2L$和$L$，到两极板距离均为$d$，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是$(\qquad)$

$L:d=2:3$

$U_{1}:U_{2}=1:1$

微粒穿出电容器区域时，速度与竖直方向的夹角的正切值为$3$

仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不变

$\rm AB$．带电微粒从静止开始经电压$U_{1}$加速后，设其射入水平放置的平行板电容器的速度$v_{0}$，根据动能定理有$qU_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$，带电微粒在平行板电容器内由射入点到最高点的过程中，竖直方向做匀减速直线运动，有$v_{0}\sin 45^\circ =at_{1}$，$\dfrac{qU_{2}}{2d}=ma$，$d=\dfrac{v_{0}\sin 45{^\circ}}{2}t_{1}$，水平方向做匀速直线运动，有$2L=v_{0}\cos 45^\circ\cdot t_{1}$

联立解得$L:d=1:1$，$U_{1}:U_{2}=1:1$，$\rm A$错误，$\rm B$正确；

$\rm C$．带电微粒在平行板电容器内由最高点到射出点的过程中，竖直方向做匀加速直线运动，设射出时竖直方向速度为$v_{y}$，有$v_{y}=at_{2}$，水平方向做匀速直线运动，有$L=v_{0}\cos 45^\circ\cdot t_{2}$，微粒穿出电容器区域的速度与水平方向夹角的正切值$\tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{0}\cos 45{^\circ}}$，联立解得$\tan\theta=\dfrac{1}{2}$，则速度与竖直方向的夹角的正切值为$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=2$，$\rm C$错误；

$\rm D$．从射入点到最高点$y=\dfrac{1}{2}gt_{1}^{2}$，$y=\dfrac{v_{0}\sin 45{^\circ}}{2}t_{1}$，$a=\dfrac{qU_{2}}{2md}$，$qU_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$，$x=v_{0}\cos 45^\circ\cdot t_{1}$，联立可得$y=d$，$x=2y=2d$。即水平、竖直方向的位移与$m$、$q$无关，故仅改变微粒的质量或电荷数量，微粒进入平行板电容器的速度和在平行板电容器中的加速度都会改变，微粒从射入点到射出点水平方向和竖直方向的位移均不变，微粒在电容器中的运动轨迹不变，$\rm D$正确。

故选：$\rm BD$。