高中 | 电势差与电场强度的关系 题目答案及解析

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选修3-1

第一章 静电场

1.6 电势差与电场强度的关系

电势差与电场强度的关系

离子推进器是太空飞行器常用的动力系统。如图所示,某推进器由离子源、间距为$d$且中心有小孔的两平行金属板$M$$N$和边长为$L$的立方体$I$构成,其后端面$K$为喷口,以金属板$N$上的小孔$O$为坐标原点,垂直立方体侧面和金属板建立$x$$y$$z$坐标轴。$M$$N$板之间存在方向沿$z$轴正方向的匀强电场,$M$$N$之间的电势差为$U$。质量为$m$、带电量为$q$的氙离子从离子源飘出(离子初速度忽略不计),经$M$$N$间电场加速穿过立方体$I$,最后从端面$K$射出。忽略离子间的相互作用,且射出的离子总质量远小于推进器的质量。

$M$$N$板之间匀强电场的电场强度大小为                 

[["$\\dfrac{U}{d}$"]]

$M$$N$之间的电势差为$U$,则$M$$N$板之间匀强电场的电场强度大小为$E=\dfrac{U}{d}$

氙离子从喷口$K$射出时的速度大小为                 

[["$\\sqrt{\\dfrac{2Uq}{m}}$"]]

根据动能定理可得$qU= \dfrac{1}{2}mv^{2}$,解得氙离子从喷口$K$射出时的速度大小为$v=\sqrt{\dfrac{2Uq}{m}}$

若在立方体$I$内存在沿$x$轴正方向、磁感应强度为$B$的匀强磁场。

①氙离子在刚进入磁场时所受洛伦兹力的方向沿                 

$A$$y$轴正方向    $B$$y$轴负方向

$C$$z$轴正方向    $D$$z$轴负方向

②若氙离子能从喷口$K$射出,则射出时的速度大小为                 

③为使氙离子能从喷口$K$射出,磁感应强度$B$的取值范围应为多少                 

[["$A$","$\\sqrt{\\dfrac{2Uq}{m}}$","$B \\leq \\dfrac{4}{5L}\\sqrt{\\dfrac{2Um}{q}}$"]]

①若在立方体$I$内存在沿$x$轴正方向、磁感应强度为$B$的匀强磁场,氙离子在刚进入磁场时的速度方向沿$z$轴正方向,根据左手定则可知氙离子所受洛伦兹力的方向沿$y$轴正方向。

故选:$A$

②若氙离子能从喷口$K$射出,由于洛伦兹力总是不做功,则射出时的速度大小为$v=\sqrt{\dfrac{2Uq}{m}}$

③氙离子在立方体$I$$yOz$平面)内做匀速圆周运动,离子恰好从$K$端边缘射出的轨迹如图所示

根据几何关系可得$R^{2}=L^{2}+{(R-\dfrac{1}{2}L)}^{2}$

解得为使氙离子能从喷口$K$射出,圆周运动的半径至少为$R=\dfrac{5}{4}L$

氙离子所受洛伦兹力提供圆周运动的向心力,则有$qvB=m\dfrac{v^{2}}{R}$

解得离子恰好从$K$端边缘射出时,磁场的磁感应强度为$B=\dfrac{4}{5L}\sqrt{\dfrac{2Um}{q}}$

因为磁感应强度$B$越小,半径$R$越大,所以磁感应强度$B$的取值范围为$B \leq \dfrac{4}{5L}\sqrt{\dfrac{2Um}{q}}$

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