小球经多少时间到达斜面顶端？

$0.4\\;\\rm s$；

小球从平台抛出后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则$h=\dfrac{1}{2}g{t_{1}}^{2}$，$v_{y}=gt_{1}$，根据已知条件结合速度的合成与分解得$\tan53{^\circ}= \dfrac{v_{y}}{v_{0}}$，代入数值解得$v_{0}=3\;\rm m/s$，$t_{1}=0.4\;\rm s$

小球水平抛出的初速度$v_{0}$是多少？

$3\\;\\rm m/s$；

由$(1)$得，$v_{0}=3\;\rm m/s$

斜面顶端与平台边缘的水平距离$s$多大？

$1.2\\;\\rm m$；

斜面顶端与平台边缘的水平距离为$s=v_{0}t_{1}=1.2\;\rm m$

小球到达斜面顶端时速度多大？

$5\\;\\rm m/s$；

小球落到斜面顶端的速度为$v_{1}$，根据速度的合成与分解得$\cos 53^{\circ}= \dfrac{v_{0}}{v_{1}}$，解得$v_{1}=5\;\rm m/s$

若斜面顶端高$H=20.8\;\rm m$，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端。

$2.4\\;\\rm s$

小球在光滑斜面上根据牛顿第二定律$ma=mg\sin53^\circ $，得$a=g\sin53^\circ $

小球在斜面上的运动过程中满足$\dfrac{H}{\sin 53^{\circ}}=v_{1}t_{2}+\dfrac{1}{2}at_{2}^{2}$

故小球离开平台后到达斜面底端的时间为$t=t_{1}+t_{2}$，解得$t=2.4\;\rm s$