在机器人到达投递口处，要使包裹能够下滑，托盘的最小倾角$\theta$应该是多少；

$\\theta=30^\\circ $

托盘倾斜包裹刚要下滑时满足$mg\sin \theta=\mu mg\cos \theta$

解得$\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \theta=30{^\circ}$

机器人制动时的最大加速度，及此时托盘对包裹的作用力$F$的大小；

$a= \\dfrac{10}{3}\\sqrt{3}\\;\\rm \\text{m}/\\text{s}^{2}$；$F=\\dfrac{20}{3}\\sqrt{3}\\;\\rm \\text{N}$

机器人制动时由静摩擦力提供加速度，当静摩擦力达到最大时，包裹的加速度最大$\mu mg=ma$

解得$a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}g=\dfrac{10}{3}\sqrt{3}\;\rm \text{m}/\text{s}^{2}$

此时托盘给包裹提供$2$个力，所以$F=\sqrt{F_{N}^{2}+F_{\max}^{2}}$

解得$F=\dfrac{20}{3}\sqrt{3}\;\rm \text{N}$

求机器人从供包台运行至分拣口所需的最短时间$t$。

$t=1.9\\sqrt{3}\\;\\rm \\text{s}$

匀加速直线运动的最短时间$t_{1}= \dfrac{v_{\text{m}}}{a}=\dfrac{4}{\dfrac{10}{3}\sqrt{3}}= 0.4\sqrt{3}\;\rm \text{s}$

匀加速直线运动位移$x_{1}=\dfrac{v_{\text{m}}^{2}}{2a}$

解得$x_{1}=0.8\sqrt{3}\;\rm \text{m}$

匀加速直线运动与匀减速直线运动时间、位移相等，所以匀速直线运动的位移$x_{2}=L-2x_{1}$

解得$x_{2}=4.4\sqrt{3}\;\rm \text{m}$

所以匀速直线运动时间$t_{2}=\dfrac{x_{2}}{v_{\text{m}}}=\dfrac{4.4\sqrt{3}}{4}=1.1\sqrt{3}\;\rm \text{s}$

解得$t=2t_{1}+t_{2}=1.9\sqrt{3}\;\rm \text{s}$