$2024$年$3$月$28$日，小米$SU7$汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有$n$个球$\left( n\ge 5,n\in {{\mathbf{N}}^{\text{*}}} \right)$，其中有$4$个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为$1$，$2$，$3$，$\cdot \cdot \cdot $，$n$的纸盒内，其中第$k$次取出的球放入编号为$k$的纸盒$\left( k=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,n \right)$．若编号为$1$，$2$，$3$，$4$的纸盒中有$4$个黑球，则获得优惠券$10000$元；若编号为$1$，$2$，$3$，$4$的纸盒中有$3$个黑球，则获得优惠券$5000$元；若编号为$1$，$2$，$3$，$4$的纸盒中有$2$个黑球，则获得优惠券$1000$元；其他情况不获得优惠券．

$(1)$已知$n=10$，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率；

$(2)$设随机变量${X}$表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：${X}$的期望小于$\dfrac{4}{3 n}$．

$(1)$$\\dfrac{23}{42}$

$(2)$证明过程见解析

$(1)$设顾客甲获得的优惠券金额为$Y$元，“顾客甲获得优惠券”为事件$A$，

则$P\left( Y=1000 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{2}\text{\rm {C}}_{6}^{2}}{\text{\rm {C}}_{10}^{4}}=\dfrac{3}{7},P\left( Y=5000 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{3}\text{\rm {C}}_{6}^{1}}{\text{\rm {C}}_{10}^{4}}=\dfrac{4}{35},P\left( Y=10000 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{4}\text{\rm {C}}_{6}^{0}}{\text{\rm {C}}_{10}^{4}}=\dfrac{1}{210}$，

$\therefore P\left( A \right)=P\left( Y=1000 \right)+P\left( Y=5000 \right)+P\left( Y=10000 \right)=\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{35}+\dfrac{1}{210}=\dfrac{23}{42}$，

即顾客甲获得的优惠券的概率为$\dfrac{23}{42}$；

$(2)$随机变量${X}$的分布列为：

随机变量${X}$的期望为$E\left( X \right)=\sum\limits_{k=4}^{n}{\dfrac{1}{k}}\cdot \dfrac{\text{\rm {C}}_{k-1}^{3}}{\text{\rm {C}}_{n}^{4}}=\dfrac{1}{\text{\rm {C}}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\dfrac{1}{k}}\cdot \dfrac{\left( k-1 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}$，

$\because \dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{\left( k-1 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}=\dfrac{k-1}{k}\cdot \dfrac{\left( k-2 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}\lt \dfrac{\left( k-2 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}$，

$\therefore E\left( X \right)=\dfrac{1}{\text{\rm {C}}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\dfrac{1}{k}}\cdot \dfrac{\left( k-1 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}\lt \dfrac{1}{\text{\rm {C}}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\dfrac{\left( k-2 \right)!}{3!\left( k-4 \right)!}}=\dfrac{1}{\text{3C}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\dfrac{\left( k-2 \right)!}{2!\left( k-4 \right)!}}=\dfrac{1}{\text{3C}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\text{\rm {C}}_{k-2}^{2}}$，

又$\text{\rm {C}}_{n}^{m}+\text{\rm {C}}_{n}^{m-1}=\text{\rm {C}}_{n+1}^{m},\left( m,n\in {{\bf{N}}^{*}},n\ge m \right)$，

$\therefore \sum\limits_{k=4}^{n}{\text{\rm {C}}_{k-2}^{2}}=\text{\rm {C}}_{2}^{2}+\text{\rm {C}}_{3}^{2}+\text{\rm {C}}_{4}^{2}+\cdots +\text{\rm {C}}_{n-2}^{2}=\text{\rm {C}}_{3}^{3}+\text{\rm {C}}_{3}^{2}+\text{\rm {C}}_{4}^{2}+\cdots +\text{\rm {C}}_{n-2}^{2}$

$=\text{\rm {C}}_{4}^{3}+\text{\rm {C}}_{4}^{2}+\cdots +\text{\rm {C}}_{n-2}^{2}=\cdots =\text{\rm {C}}_{n-2}^{3}+\text{\rm {C}}_{n-2}^{2}=\text{\rm {C}}_{n-1}^{3}$，

$\therefore E\left( X \right)\lt \dfrac{1}{\text{3C}_{n}^{4}}\sum\limits_{k=4}^{n}{\text{\rm {C}}_{k-2}^{2}}=\dfrac{\text{\rm {C}}_{n-1}^{3}}{\text{3C}_{n}^{4}}=\dfrac{4}{3n}$$.$