某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有$4$名男教师，$2$名女教师报名，本周随机选取$2$人参加．

$(1)$求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

$(2)$记参加活动的女教师人数为$X$，求$X$的分布列及期望$E\left( X \right)$；

$(3)$若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加$2$项活动，且选择参加$1$项或$2$项的可能性均为$\dfrac{1}{2}$，每名男教师至少从中选择参加$2$项活动，且选择参加$2$项或$3$项的可能性也均为$\dfrac{1}{2}$，每人每参加$1$项活动可获得“体育明星”积分$3$分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为$Y$，求$Y$的期望$E\left( Y \right)$．

$(1)$$\\dfrac{8}{9}$

$(2)$分布列及期望见解析$.$

$(3)$$E\\left( Y \\right)=13$

$(1)$设“有女教师参加活动”为事件$A$，“恰有一名女教师参加活动”为事件$B$，

则$P\left( AB \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{1}\text{\rm {C}}_{2}^{1}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{8}{15}$，$P\left( A \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{1}\text{\rm {C}}_{2}^{1}+\text{\rm {C}}_{2}^{2}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{3}{5}$，

$\therefore P\left( B|A \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\dfrac{\dfrac{8}{15}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{8}{9}$$.$

$(2)$依题意知${X}$服从超几何分布，且$P\left( X=k \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{2}^{k}\text{\rm {C}}_{4}^{2-k}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}\left( k=0,1,2 \right)$

$P\left( X=0 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{2}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{2}{5}$，$P\left( X=1 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{4}^{1}\text{\rm {C}}_{2}^{1}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{8}{15}$，$P\left( X=2 \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{2}^{2}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{1}{15}$，

$\therefore {X}$的分布列为：

$E\left( X \right)=0\times \dfrac{2}{5}+1\times \dfrac{8}{15}+2\times \dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{3}$$.$

$(3)$设一名女教师参加活动可获得分数为${{X}_{1}}$，一名男教师参加活动可获得分数为${{X}_{2}}$，则${{X}_{1}}$的所有可能取值为$3$,$6$，${{X}_{2}}$的所有可能取值为$6$,$9$，

$P\left( {{X}_{1}}=3 \right)=P\left( {{X}_{1}}=6 \right)=\dfrac{1}{2}$，$E\left( {{X}_{1}} \right)=3\times \dfrac{1}{2}+6\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$，

$P\left( {{X}_{2}}=6 \right)=P\left( {{X}_{2}}=9 \right)=\dfrac{1}{2}$，$E\left( {{X}_{2}} \right)=6\times \dfrac{1}{2}+9\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}$，

有${X}$名女教师参加活动，则男教师有$2-X$名参加活动，$Y=\dfrac{9}{2}X+\dfrac{15}{2}\left( 2-X \right)=15-3X$，

$\therefore E\left( Y \right)=E\left( 15-3X \right)=15-3E\left( X \right)=15-3\times \dfrac{2}{3}=13$$.$

即两个教师得分之和的期望为$13$分$.$