甲、乙两人进行射击比赛，每回射击胜者得$1$分，且每回射击中甲胜的概率为$\alpha $，乙胜的概率为$\beta $$($$\alpha +\beta =1$$)$，比赛进行到有一人比另一人多$2$分时结束，多$2$分者最终获胜．

$(1)$试求甲、乙最终获胜的概率；

$(2)$比赛是否有可能无限地一直进行下去？

$(1)$$\\dfrac{{{\\alpha }^{2}}}{1-2\\alpha \\beta }$，$\\dfrac{{{\\beta }^{2}}}{1-2\\alpha \\beta }$

$(2)$比赛不会无限地一直进行下去

$(1)$设$A=\{甲最终获胜\}$，$B=\{乙最终获胜\}$．

以${{C}_{1}}$记“在第一、二回射击中甲均获胜”，则$P\left( \left. A \right|{{C}_{1}} \right)=1$；

以$C_{2}$记“在第一、二回射击中乙均获胜”，则$P\left( \left. A \right|{{C}_{2}} \right)=0$；

以$C_{3}$记“在第一、二回射击中甲、乙各获胜一次”，即第三回相当于比赛重新开始，

$\therefore $ ，此情况下甲获胜的概率即为$P\left( A \right)$，则$P\left( \left. A \right|{{C}_{3}} \right)=P\left( A \right)$．

显然$P\left( {{C}_{1}} \right)={{\alpha }^{2}}$，$P\left( {{C}_{2}} \right)={{\beta }^{2}}$，$P\left( {{C}_{3}} \right)=2\alpha \beta $．

由全概率公式，得$P\left( A \right)=P\left( \left. A \right|{{C}_{1}} \right)P\left( {{C}_{1}} \right)+P\left( \left. A \right|{{C}_{2}} \right)P\left( {{C}_{2}} \right)+P\left( \left. A \right|{{C}_{3}} \right)P\left( {{C}_{3}} \right)={{\alpha }^{2}}+0+2\alpha \beta P\left( A \right)$，解得$P\left( A \right)=\dfrac{{{\alpha }^{2}}}{1-2\alpha \beta }$．

同理有$P\left( B \right)=P\left( \left. B \right|{{C}_{1}} \right)P\left( {{C}_{1}} \right)+P\left( \left. B \right|{{C}_{2}} \right)P\left( {{C}_{2}} \right)+P\left( \left. B \right|{{C}_{3}} \right)P\left( {{C}_{3}} \right)=0+{{\beta }^{2}}+2\alpha \beta P\left( B \right)$，解得$P\left( B \right)=\dfrac{{{\beta }^{2}}}{1-2\alpha \beta }$．

$(2)$

$\because P\left( A \right)+P\left( B \right)=\dfrac{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}{1-2\alpha \beta }=\dfrac{{{\left( \alpha +\beta \right)}^{2}}-2\alpha \beta }{1-2\alpha \beta }=1$，

$\therefore $ 由概率之和为$1$，

相信：或甲最终获胜，或乙最终获胜，比赛不会无限地一直进行下去．