小滑块滑到平台右端时的速度大小$v_{1}$；

$v_{1}=12\\;\\rm m/s$

小物块在平台上滑动的过程中，根据动能定理，有$- \mu mgs=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

解得$v_{1}=12\;\rm m/s$

当滑块滑到长木板最右端时小滑块的速度大小$v_{4}$；

$6\\;\\rm m/s$

小滑块从平台边缘飞出，做平抛运动，竖直方向，有$h=\dfrac{1}{2}gt_{1}^{2} \Rightarrow t_{1}=1\;\rm \text{s}$

水平方向，有$x=v_{1}t_{1}=12\;\rm m$

$v_{y}=gt=10\;\rm m/s$

小滑块与长木板碰撞过程，竖直方向根据动量定理，规定竖直向上为正方向，有$F_{N}\Delta t=mv_{y}$

水平方向，规定水平向右为正方向，对小滑块根据动量定理，有$-\mu _{2}F_{N}\Delta t=mv_{2}-mv_{1}⇒v_{2}=11\;\rm m/s$

对长木板有$\mu _{2}F_{N}\Delta t=Mv_{3}⇒v_{3}=2\;\rm m/s$

此后小滑块做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，有$\mu _{2}mg=ma_{2}⇒a_{2}=1\;\rm m/s^{2}$

由位移时间关系，有$x_{1}=v_{2}t_{2}-\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}$

长木板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有$\mu _{2}mg=Ma_{3}⇒a_{3}=2\;\rm m/s^{2}$

有位移时间关系，有$x_{2}=v_{3}t_{2}+\dfrac{1}{2}a_{3}t_{2}^{2}$

$x_{1}-x_{2}=L+d-x⇒t_{2}=2\;\rm s$

滑块滑到长木板最右端时小滑块的速度$v_{4}=v_{2}-a_{2}t_{2}=9\;\rm m/s$

长木板的速度$v_{5}=v_{3}+a_{3}t_{2}=6\;\rm m/s$

若小滑块刚好滑至$\dfrac{1}{4}$圆弧的最高点，圆弧的半径$R$。

$0.15\\;\\rm m$

长木板与$\dfrac{1}{4}$圆弧体发生弹性碰撞有$Mv_{5}=Mv_{6}+Mv_{7}$

$\dfrac{1}{2}Mv_{5}^{2}=\dfrac{1}{2}Mv_{6}^{2}+\dfrac{1}{2}Mv_{7}^{2}$

解得$v_{6}=0$，$v_{7}=6\;\rm m/s$

小滑块滑上$\dfrac{1}{4}$圆弧的最高点时，小滑块与$\dfrac{1}{4}$圆弧的速度相同，根据小滑块与$\dfrac{1}{4}$圆弧组成的系统水平动量守恒和能量守恒得$mv_{4}+Mv_{7}=(m+M)v_{8}$

$\dfrac{1}{2}mv_{4}^{2}+\dfrac{1}{2}Mv_{7}^{2}=\dfrac{1}{2}(M+m)v_{8}^{2}+mgR \Rightarrow R=0.15\;\rm \text{m}$