求加速电压$U$；

$U= \\dfrac{3mv_{0}^{2}}{2q}$；

粒子在加速电场中运动，根据动能定理$Uq=\dfrac{1}{2}mv^{2}- \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

根据题意可知$v=2v_{0}$

可得加速电场的电压$U=\dfrac{3mv_{0}^{2}}{2q}$；

求圆形匀强磁场的磁感应强度$B$的大小；

$B=\\dfrac{2mv_{0}}{qR}$；

粒子进入匀强磁场，由题意可得，粒子圆周运动的半径$r=R$

根据洛伦兹力提供向心力可得$qvB=m\dfrac{v^{2}}{r}$

解得 $B=\dfrac{2mv_{0}}{qR}$；

若将粒子源、加速电场和辐射状电场沿$y$轴负方向移动$\dfrac{R}{2}$处，求粒子从进入加速电场到出匀强磁场经历的时间以及射出磁场时速度方向与$y$轴正方向的夹角。

$t=\\dfrac{(14+7\\pi- 3\\sqrt{3})R}{12v_{0}}$，$y$轴正方向所成夹角为 $30^\\circ $。

如图所示

设粒子在加速电场中运动的时间为 $t_{1}$，则有$\dfrac{v_{0}+v}{2}t_{1}=\dfrac{R}{4}$

设粒子在辐射状电场运动的时间为$t_{2}$，则$t_{2}=\dfrac{\pi R}{2v}$

设粒子出辐射状电场到刚要进入磁场的时间为$t_{3}$，则$t_{3}=\dfrac{R+(R-\dfrac{\sqrt{3}R}{2})}{v}$

由几何关系，可知粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角$\varphi=\dfrac{\pi}{4}+\arcsin\dfrac{\dfrac{R}{2}}{R}=\dfrac{2\pi}{3}$

粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$

设粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间为$t_{4}$，则$t_{4}=\dfrac{\varphi}{2\pi}T$

粒子从进入加速电场到出匀强磁场经历的时间$t=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}$

代入数据可得$t=\dfrac{(14+7\pi-3\sqrt{3})R}{12v_{0}}$

根据几何关系可得，粒子从 $(0,R)$处射出的速度方向与 $y$轴正方向所成夹角为 $30^\circ $。