物块$B$滑上木板$C$时的动能$E_{\text{k}B}$；

$E_{\\text{k}B}=\\dfrac{8}{9}E_{k}$；

$A$、$B$弹性碰撞，则$6m{{v}_{0}}=6m{{v}_{{A}}}+12m{{v}_{{B}}}$

$\dfrac{1}{2}6mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}6mv_{{A}}^{2}+\dfrac{1}{2}12mv_{{B}}^{2}$

${{E}_{\text{k}}}=\dfrac{1}{2}6mv_{0}^{2}$

解得${{E}_{\text{k}B}}=\dfrac{8}{9}{{E}_{\text{k}}}$；

若在整个运动过程中$B$未滑出$C$，木板$C$的长度至少为多大；

$L=\\dfrac{2{{E}_{\\text{k}}}}{27\\mu mg}$；

$C$反复碰撞$N$，$B$未滑出$C$，可知最终$B$、$C$均停止运动，由能量守恒定律$\mu \cdot 12mgL=\dfrac{1}{2}\cdot 12mv_{{B}}^{2}={{E}_{\text{k}B}}$

解得木板$C$的最小长度$L=\dfrac{2{{E}_{\text{k}}}}{27\mu mg}$；

假如$C$与$N$碰撞了$n$次$\left( n\gt 2 \right)$，求第$n$次碰撞后$B$与$C$共速时$B$的动能${{E}_{\text{k}n}}$；

${{E}_{\\text{k}n}}={{\\left( \\dfrac{11}{13} \\right)}^{2n}}{{\\left( \\dfrac{12}{13} \\right)}^{2}}\\dfrac{8}{9}E_{\\rm k}$；

当$B$第一次滑上$C$时，$B$的速度为${{v}_{\text{B}}}$，$C$的速度为$0$，到$B$、$C$第一次共速${{v}_{共}}$，由动量守恒定律$12m{{v}_{\text{B}}}=\left( 12m+m \right){{v}_{共}}$

第一次碰撞后，到$B$、$C$共速${{v}_{\text{B}1}}$的过程，由动量守恒$12m{{v}_{共}}-m{{v}_{共}}=\left( 12m+m \right){{v}_{{B}1}}$

共速时$B$动能${{E}_{\text{k}1}}=\dfrac{1}{2}12mv_{{B}1}^{2}={{\left( \dfrac{11}{13} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{12}{13} \right)}^{2}}\dfrac{8}{9}{{E}_{\text{k}}}$

以此类推，第$n$次碰撞后，共速时$B$的动能${{E}_{\text{k}n}}=\dfrac{1}{2}12mv_{{Bn}}^{\text{2}}={{\left( \dfrac{11}{13} \right)}^{2n}}{{\left( \dfrac{12}{13} \right)}^{2}}\dfrac{8}{9}{{E}_{\text{k}}}$；

若物块$B$到达木板$C$右端时，$C$恰好第一次到$N$点。改变$C$的质量为${m}'$，让$C$第$k$次碰撞$N$点时，物块$B$恰好滑到$C$右端，此时$B$的速度大于$C$的速度，求$\dfrac{{{m}'}}{m}$与$k$的关系。

$\\dfrac{{{m}'}}{m}=\\dfrac{1}{{{\\left( 2k-1 \\right)}^{2}}}$。

物块$B$滑上木板到达$C$右端时，$C$恰好第一次碰到$N$点。在此过程，$C$的加速度为${{a}_{\text{C}}}$，$B$、$C$所用时间为${{t}_{\text{C}}}$，设$C$右端静止时距离$N$为$d$，则${{a}_{C}}=\dfrac{12\mu mg}{m}=12\mu g$

$d=\dfrac{1}{2}{{a}_{C}}t_{C}^{2}$

再改变$C$的质量为${m}'$，$C$的加速度为${{{a}'}_{\text{C}}}$，设$C$从运动到第一次与$N$碰撞的时间为${{{t}'}_{\text{C}}}$，

碰撞后$C$向左以相同大小的加速度减速至零，时间也为${{{t}'}_{\text{C}}}$，故第$k$次碰撞$N$点时，$C$恰好运动了$\left( 2k-1 \right){{{t}'}_{\text{C}}}$。$B$的受力情况不变，从$M$运动到$N$用的时间仍为${{t}_{\text{C}}}$，有${{t}_{\text{C}}}=\left( 2k-1 \right){{{t}{'}}_{\text{C}}}$

$d=\dfrac{1}{2}{{{a}'}_{\text{C}}}{t}{'}_{\text{C}}^{2}$

其中${{{a}{'}}_{\text{C}}}=\dfrac{12\mu mg}{{{m}'}}$

由以上几式$\dfrac{{{a}_{\text{C}}}}{{{{{a}'}}_{\text{C}}}}=\dfrac{{{{{t}'}}^{2}}_{\text{C}}}{t_{\text{C}}^{2}}=\dfrac{{{m}'}}{m}$

所以$\dfrac{{{m}'}}{m}=\dfrac{1}{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}}$。