物块$C$与木板间的动摩擦因数$\mu _{C}$；

$0.3$

$C$在$A$上滑行时，对$A$，有$\mu _{C}mg-\mu (m+m)g=ma_{A1}$

解得$a_{A1}=(\mu _{C}-2\mu )g$

$A$碰$B$后，对$A$，有$\mu mg=ma_{A2}$

解得$a_{A2}=\mu g=1\;\rm m/s^{2}$

木板$B$锁定，$A$碰$B$后恰能返回初始位置，则碰撞前后$A$的加速度大小相等$a_{A1}=a_{A2}$

解得$\mu _{C}=3\mu =0.3$

$A$右端到$B$左端的初始间距为$x_{0}$；

$0.5\\;\\rm m$

$C$在$A$上滑行时，对$C$，有$\mu _{C}mg=ma_{C}$

解得$a_{C}=\mu _{C}g=3\;\rm m/s^{2}$

$C$在$A$上滑行的过程中$v_{共}=v_{C}-a_{C}t_{1}=a_{A1}t_{1}$

$C$、$A$的位移相对关系$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}(v_{\text{C}}+v_{共})t_{\text{1}}-\dfrac{\text{1}}{\text{2}}v_{共}t_{\text{1}}=L_{\text{A}}$

解得$C$在$A$上向右滑行的初速度$v_{C}=4\;\rm m/s$

时间$t_{1}=1\ \rm s$

$t_{1}$内$A$向前滑行的距离

$x_{\text{0}}=\dfrac{\text{1}}{\text{2}}a_{\text{A1}}t_{\text{1}}^{\text{2}}=0.5\;\rm m$

小球$D$的质量$M$；

$0.1\\;\\rm kg$

小球$D$下摆过程中$Mg\left(\dfrac{L}{2}\sin 37{^\circ}+\dfrac{L}{2}\right)=\dfrac{1}{2}Mv_{\text{D1}}^{\text{2}}$

解得$v_{\text{D1}}=4\sqrt{L}$

小球$D$碰后反弹上摆过程中$Mg\left(\dfrac{L}{2}-\dfrac{L}{2}\sin 37{^\circ}\right)=\dfrac{1}{2}Mv_{\text{D2}}^{2}$

解得$v_{\text{D2}}=2\sqrt{L}$

小球$D$碰$C$$Mv_{D1}=−Mv_{D2}+mv_{C}$

$\dfrac{1}{2}Mv_{\text{D1}}^{\text{2}}=\dfrac{1}{2}Mv_{\text{D2}}^{\text{2}}+\dfrac{1}{2}mv_{\text{C}}^{\text{2}}$

解得$M=\dfrac{m}{3}$$=0.1\;\rm kg$

绳长$L=4\;\rm m$

若$B$的右端距墙为$0.5\;\rm m$，现在解除$B$的锁定，小球$D$仍由绳水平拉直的位置从静止释放，最终$C$在$B$上未掉下，已知木板$B$的质量$m_{B}=0.9\;\rm kg$，木板$B$与地面间的摩擦忽略不计，$B$碰墙后取走$D$。求木板$B$的最小长度$d$。

$\\dfrac{29}{128}\\;\\rm m$

解除$B$锁定后，$A$、$C$共速$v_{1}=v_{共}=1\;\rm m/s$

方向向右，$A$碰$B$，对$A$、$B$，有$mv_{1}=mv_{A}+m_{B}v_{B1}$

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{\text{A}}^{\text{2}}+\dfrac{1}{2}m_{\text{B}}v_{\text{B1}}^{\text{2}}$

解得$v_{\text{A}}=- \dfrac{1}{2}\;\rm m/s$

方向向左；

$v_{\text{B1}}=\dfrac{1}{2}\;\rm m/s$

方向向右，设$B$、$C$达到共同速度$v_{2}$中，$B$未碰墙，有$mv_{1}+m_{B}v_{B1}=(m+m_{B})v_{2}$

解得$v_{2}=\dfrac{5}{8}\;\rm m/s$，

方向向右，设$C$在$B$上向右滑过$d_{1}$，有$\mu_{\text{C}}mgd_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{\text{B}}v_{\text{B1}}^{\text{2}}-\dfrac{1}{2}(m+m_{\text{B}})v_{2}^{2}$

解得$d_{1}=\dfrac{1}{32}\;\rm m$

此过程中$B$的对地位移为$x_{B1}$，有$\mu_{\text{C}}mgx_{\text{B1}}=\dfrac{1}{2}m_{\text{B}}v_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}m_{\text{B}}v_{\text{B1}}^{\text{2}}$

解得$x_{\text{B1}}=\dfrac{9}{128}\;{\rm m}\lt {0.5\rm m}$

未碰墙，之后$B$、$C$一起匀速运动，碰墙反弹后$B$、$C$达到共同速度$v_{3}$中，以向左为正，有$m_{B}v_{2}-mv_{2}=(m+m_{B})v_{3}$

解得$v_{3}=\dfrac{5}{16}\;\rm m/s$，

方向向左，设此过程中$C$在$B$上继续向右滑过$d_{2}$，有$\mu_{\text{C}}mgd_{2}=\dfrac{1}{2}(m+m_{\text{B}})v_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}(m+m_{\text{B}})v_{3}^{2}$

解得$d_{2}=\dfrac{25}{128}\;\rm m$

之后$B$碰$A$时，$C$相对$B$向前滑行，故为了$C$不掉下，$B$板的最小长度为

$d=d_{1}+d_{2}=\dfrac{29}{128}\;\rm m$