质量为$m$的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为$x$时速度为$v$。在此过程中，飞机受到的平均阻力为$f$，求牵引力对飞机做的功$W$；

$W=\\dfrac{1}{2}mv^{2}+ fx$；

根据动能定理$W-fx= \dfrac{1}{2}mv^{2}$

可得牵引力对飞机做的功$W=\dfrac{1}{2}mv^{2}+fx$；

飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。己知跑道的长度为$L$，飞机加速时加速度大小为$a_{1}$，减速时最大加速度大小为$a_{2}$。求该位置距起点的距离$d$；

$d=\\dfrac{a_{2}L}{a_{1}+ a_{2}}$；

加速过程，设起飞速度为$v_\rm{m}$，根据速度位移关系$v_{\rm m}^{2}=2a_{1}d$

减速过程，根据速度位移关系$v_{\rm m}^{2}=2a_{2}(L − d)$

联立解得$d=\dfrac{a_{2}L}{a_{1}+a_{2}}$；

无风时，飞机以速率$u$水平向前匀速飞行，相当于气流以速率$u$相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力大小$F$与$u$的关系满足$F ∝ u^{\alpha}$，并确定$\alpha$的值。

论证见解析，$\\alpha=2$。

在无风的情况下，飞机以速率$u$水平飞行时，相对飞机的气流速率也为$u$，并且气流掠过机翼改变方向，从而对机翼产生升力。根据升力公式，升力与气流的动量变化有关，根据动量定理$F ⋅ \Delta t=\Delta p$

可得$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$

又$\Delta p=m\Delta v$，$m=\rho S\Delta v ⋅ \Delta t$

联立可得$F=\rho S\Delta v^{2}$

又$\Delta v ∝ u$

可知$F ∝ u^{2}$

即$\alpha=2$。