图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在$t=0$时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为$0$的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为$m$，电荷量为$e$，交变电源电压大小为$U$，周期为$T$。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是$(\qquad)$

金属圆筒$1$、$2$、$3$的长度之比为$1:\\sqrt{2}:\\sqrt{3}$

电子离开圆筒$1$时的速度为进入时速度的两倍

第$n$个圆筒的长度应满足$L=\\sqrt{\\dfrac{2\\text{n}eU}{m}}.\\dfrac{T}{2}$

进入第$n$个圆筒时电子的速率为$\\sqrt{\\dfrac{neU}{2\\text{m}}}$

$\rm A$．由于电子每经过圆筒狭缝时都要加速，进入圆筒后做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间均为$\dfrac{T}{2}$，电子在加速过程中加速度相同，经过$n$次加速后，根据动能定理$neU=\dfrac{1}{2}m{v_{n}}^{2}-0$，解得$v_{n}=\sqrt{\dfrac{2neU}{m}}$，不计缝隙时间，电子在圆筒内的时间均为$\dfrac{T}{2}$，则$L_{n}=v_{n} \cdot \dfrac{T}{2}=T\sqrt{\dfrac{neU}{2m}}$，所以金属圆筒$1$、$2$、$3$的长度之比为$L_{1}:L_{2}:L_{3}=\sqrt{1}:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，$\rm A$正确；

$\rm B$．由于电子在筒内做匀速直线运动，所以电子离开圆筒$1$时的速度等于进入时的速度，$\rm B$错误；

$\rm CD$．根据动能定理，电子进入第$n$个圆筒时的速度满足$neU=\dfrac{1}{2}mv_{n}^{2}$，所以$v_{n}=\sqrt{\dfrac{2neU}{m}}$，所以第$n$个圆筒的长度为$L=v_{n}\dfrac{T}{2}=\sqrt{\dfrac{2neU}{m}} \cdot \dfrac{T}{2}$，$\rm C$正确，$\rm D$错误。

故选：$\rm AC$。