杆转到竖直位置时，求杆对小球$B$的作用力；

$60\\;\\rm N$，方向竖直向上

杆从水平位置由静止释放转动到竖直位置的过程，根据系统机械能守恒定律有$Mgl=mg \cdot 2l+ \dfrac{1}{2}mv_{\text{A}}^{\text{2}}+ \dfrac{1}{2}Mv_{\text{B}}^{\text{2}}$

由于两球具有相同的角速度，则$\dfrac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}}=\dfrac{\omega \cdot 2l}{\omega l}=2$

代入数据解得$v_{\text{A}}=2\sqrt{5}\;\rm \text{m/s}$，$v_{\text{B}}=\sqrt{5}\;\rm \text{m/s}$

对小球$B$，根据牛顿第二定律有$F-Mg=M\dfrac{v_{\text{B}}^{\text{2}}}{l}$

解得$F=60\;\rm N$，方向竖直向上；

杆从水平位置转到竖直位置的过程中，求杆对小球$A$做的功；

$30\\;\\rm J$

杆从水平位置转到竖直位置的过程中，对小球$A$，根据动能定理可得$W-mg \cdot 2l= \dfrac{1}{2}mv_{\text{A}}^{\text{2}}$

解得$W=30\;\rm J$

若$dO'$与竖直方向的夹角用$\theta$表示，写出$\cos\theta$与圆弧轨道半径$R$的关系式，并判断$R$的取值范围。

$\\cos\\theta=\\dfrac{8}{3R}- \\dfrac{1}{3}$，$2\\;{\\rm m}\\lt R\\lt 8\\;\\rm m$

小球$A$脱离杆水平飞出，做平抛运动，到达$a$点时有$v_{a}=\dfrac{v_{\text{A}}}{\cos\alpha}= 4\sqrt{5}\;\rm \text{m/s}$

小球到达圆弧轨道上$c$点之前的$d$点脱离轨道，则$- mgR(\cos\alpha+\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mv_{d}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{a}^{2}$

脱离轨道时有$mg\cos\theta=m\dfrac{v_{d}^{2}}{R}$

联立解得$\cos\theta=\dfrac{8}{3R}-\dfrac{1}{3}$

当小球恰好到达圆心等高处有$- mgR_{1}\cos\alpha=0-\dfrac{1}{2}mv_{a}^{2}$

解得$R_{1}=8\;\rm m$

当小球恰好到达$c$点有$- mgR_{2}(1+\cos\alpha)=\dfrac{1}{2}mv_{c}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{a}^{2}$

小球在$c$点，根据牛顿第二定律有$mg=m\dfrac{v_{c}^{2}}{R}$

解得$R_{2}=2\;\rm m$

所以要使得小球脱离轨道，则$R$的取值范围为$2\;{\rm m}\lt R\lt 8\;\rm m$。