已知正四棱台的上底面边长为$1$，侧棱长为$2$，高为$\sqrt{2}$，则$(\qquad)$．

棱台的侧面积为$8\\sqrt{3}$

棱台的体积为$13\\sqrt{2}$

棱台的侧棱与底面所成的角$\\dfrac{\\pi }{4}$

棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$

对于$\rm A$，易知棱台的侧面为四个全等的等腰梯形，上底面到下底面的距离为${A}_{1}E=\sqrt{2}$，则${A}E=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，

下底面正方形$ABCD$的对角线$AC=2\sqrt{2}+\sqrt{1+1}=3\sqrt{2}$，则下底面的边长为$3$，侧面的高为$\sqrt{{2}^{2}-1}=\sqrt{3}$，

$\therefore {{S}_{侧}}=4\times \dfrac{\left( 1+3 \right)\times \sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$，选项$\rm A$正确；

对于$\rm B$，${{S}_{上}}=1$，${{S}_{下}}=9$，

$\therefore V=\dfrac{1}{3}\times \left( {{S}_{上}}+{{S}_{下}}+\sqrt{{{S}_{上}}{{S}_{下}}} \right)\times {{A}_{1}}E=\dfrac{1}{3}\times \left( 1+9+3 \right)\times \sqrt{2}=\dfrac{13\sqrt{2}}{3}$，选项$\rm B$错误；

对于$\rm C$，棱台侧棱与底面所成的角即为$\angle A_{1}AE$，由于$A{A}_{1}=2,{A}_{1}E=AE=\sqrt{2}$，故$\angle {A}_{1}AE=\dfrac{\pi }{4}$，选项$\rm C$正确；

对于$\rm D$，过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$，连接$A_{1}F$，则$\angle A_{1}FE$为侧面与底面所成二面角，则$\sin \angle {A}_{1}FE=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，选项$\rm D$错误．

故选：$\rm AC$