随着全民健身运动的广泛普及，全民体育锻炼热情迅速升温，国庆期间，一批羽毛球爱好者分成甲、乙两个队进行了一场羽毛球比赛，约定赛制如下：每局比赛胜者得$1$分，负者得$0$分，当比赛进行到有一方比对方多赢$2$分或者打满$8$局时该场比赛停止.设甲队在每局比赛中获胜的概率均为$p({p\lt \dfrac{1}{2}})$，且两个队在各局比赛中的胜负相互独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\dfrac{5}{8}$.
$(1)$求$p$的值；
$(2)$设$X$表示该场比赛停止时已比赛的局数，求$X$的分布列和数学期望.

(1) $\\dfrac{1}{4}$;

(2) 答案见解析

$(1)$根据题意可知，第二局比赛结束时比赛停止包括甲队连胜两局和乙队连胜两局两种情况；
则其概率为${p^2}+{({1-p})^2}=\dfrac{5}{8}$，解得$p=\dfrac{1}{4}$或$p=\dfrac{3}{4}($舍），
所以$p$的值为$\dfrac{1}{4}$；
$(2)$由题可得，$X$的所有可能取值为$2$，$4$，$6$，$8$，
由$(1)$知$P(X=2)=\dfrac{5}{8}$，
若前两局比赛中甲乙两队各胜一局，第三、四局比赛有一队连胜两局，比赛会进行$4$局结束，
所以$P(X=4)=\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}×[{{{({\dfrac{1}{4}})}^2}+{{({\dfrac{3}{4}})}^2}}]=\dfrac{{15}}{{64}}$；
若第一、二局和三、四局比赛中，两队都各胜一局，第五、六局比赛有一队连胜两局，比赛会进行$6$局结束，
所以$P(X=6)=\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}×\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}×[{{{({\dfrac{1}{4}})}^2}+{{({\dfrac{3}{4}})}^2}}]=\dfrac{{45}}{{512}}$；
根据赛制，若前六局没有分出胜负则比赛需进行$8$局才能结束，
所以$P(X=8)=\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}×\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}×\rm C_2^1×\dfrac{1}{4}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{{27}}{{512}}$；
因此$X$的分布列如下：

数学期望$E(X)=2×\dfrac{5}{8}+4×\dfrac{{15}}{{64}}+6×\dfrac{{45}}{{512}}+8×\dfrac{{27}}{{512}}=\dfrac{{1606}}{{512}}=\dfrac{{803}}{{256}}$，
即数学期望为$\dfrac{{803}}{{256}}$.