若 ${\rm {C}}_{n+1}^{6}-{\rm C}_{n}^{6}={\rm C}_{n}^{7}$ ,则$n$的值为 $\left(\quad \right)$

$12$

$11$

$10$

$9$

由题意，根据组合数的性质，可得$\rm C_{n+1}^6=C_n^6+C_n^5$，
又由$\rm C_{n+1}^6-C_n^6=C_n^7$，可得$\rm C_n^5=C_n^7$，
根据组合数的性质，可得$n=5+7=12$.
故选：$\rm A $.