如图，在三棱柱$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$中，底面是边长为$6$的等边三角形，$C C_{1}=6$，$\angle AC{{C}_{1}}=60{}^\circ $，$D$，$E$分别是线段$AC$，$C{{C}_{1}}$的中点，平面$ABC\perp $平面${{C}_{1}}CA{{A}_{1}}$．

$(1)$求证：${{A}_{1}}C\perp $平面$BDE$；

$(2)$若点$P$为线段$B_{1}C_{1}$上的中点，求平面$PBD$与平面$BDE$的夹角的余弦值．

$(1)$证明见解析；

$(2)$$\\dfrac{5 \\sqrt{13}}{26}$

$(1)$连接$A{{C}_{1}}$，四边形$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A$是菱形，则${{A}_{1}}C\perp A{{C}_{1}}$，又$D$，$E$分别为$AC$，$C{{C}_{1}}$的中点

$\therefore DE//A{{C}_{1}}$，故${{A}_{1}}C\perp DE$，

又$\triangle ABC$为等边三角形，$D$为$AC$的中点，则$BD\perp AC$

平面$ABC\perp $平面$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A$，平面$ABC\cap $平面$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A=AC$，$BD\subset $平面$ABC$，

$\therefore BD\perp $平面$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A$，又${{A}_{1}}C\subset $平面$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A$，故$BD\perp {{A}_{1}}C$

又${{A}_{1}}C\perp DE$，$BD\cap DE=D$，$BD$，$DE\subset $平面$BDE$，可得${{A}_{1}}C\perp $平面$BDE$$.$

$(2)$$AC=C{{C}_{1}}=6$，$\angle AC{{C}_{1}}=60{}^\circ $，$\triangle {{C}_{1}}CA$为等边三角形，

$D$是$AC$的中点，则${{C}_{1}}D\perp AC$，由$(1)$得$BD\perp $平面$C{{C}_{1}}{{A}_{1}}A$，

以$D$为原点，$DB$，$DA$，$D{{C}_{1}}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则$D\left( 0,0,0 \right)$，$B\left( 3\sqrt{3},0,0 \right)$，${{C}_{1}}\left( 0,0,3\sqrt{3} \right)$，$C\left( 0,-3,0 \right)$，${{A}_{1}}\left( 0,6,3\sqrt{3} \right)$，

$\overrightarrow{{{C}_{1}}P}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2},0 \right)$，则$P\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2},3\sqrt{3} \right)$，

$\therefore \overrightarrow{DB}=\left( 3\sqrt{3},0,0 \right)$，$\overrightarrow{DP}=\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2},3\sqrt{3} \right)$，

设平面$PBD$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=\left( x,y,z \right)$，则$\begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DB}=3\sqrt{3}x=0 \\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{DP}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{3}{2}y+3\sqrt{3}z=0 \\ \end{cases}$，

取$z=1$，

$\therefore \boldsymbol{n}=\left( 0,-2\sqrt{3},1 \right)$，

由$(1)$得$\boldsymbol{m}=\overrightarrow{C{{A}_{1}}}=\left( 0,9,3\sqrt{3} \right)$是平面$BDE$的一个法向量，

$\left| \cos \langle \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle \right|=\left| \dfrac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{\left| {\boldsymbol{m}} \right|\left| {\boldsymbol{n}} \right|} \right|=\dfrac{15\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\times \sqrt{13}}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$，

即平面$PBD$与平面$BDE$的夹角的余弦值为$\dfrac{5 \sqrt{13}}{26}$．