磁场的磁感应强度大小$B$以及乙从$M$点运动到$N$点的时间$t$；

$\\dfrac {mv}{2qL}$，$\\dfrac {10\\pi L}{3v}$

甲、乙的运动轨迹如图所示，已知$\theta =\dfrac {\pi }{6}$，由几何关系可知$\triangle MNO_{1}$为正三角形，故乙绕圆心$O_{1}$做圆周运动的半径为$R=2L$

洛伦兹力提供乙做圆周运动所需的向心力，有$qvB=m\dfrac {v^{2}}{R}$

解得$B=\dfrac {mv}{2qL}$

乙从$M$点运动到$N$点的时间为$t=\dfrac {(2\pi -2\theta )R}{v}$

解得$t=\dfrac {10\pi L}{3v}$

$P$点与坐标原点$O$间的距离$x_{0}$以及电场的电场强度大小$E$；

$\\dfrac {2\\sqrt {3}L}{3}$，$\\dfrac{9mv^2}{50\\pi ^{2}qL}$

甲从$P$点运动到$N$点的过程中做类平抛运动，由于甲、乙恰好在$N$点发生正碰，故碰撞前瞬间甲的速度方向与$y$轴正方向的夹角为$\theta $，设甲的初速度大小为$v_{0}$、加速度大小为$a$，有$\dfrac {v_{0}}{at}=\tan \theta $

$L=\dfrac {1}{2}at^{2}$

$x_{0}=v_{0}t$

根据牛顿第二定律有$qE=ma$

联立解得$x_{0}=\dfrac {2\sqrt {3}L}{3}$，$E=\dfrac {9mv^{2}}{50\pi ^{2}qL}$

碰撞后乙通过$y$轴时的纵坐标$y_{乙}$。

$\\left( 1+\\dfrac {4\\sqrt {3}}{5\\pi }\\right) L$

设碰撞前瞬间甲的速度大小为$v_{1}$（以$v_{1}$的方向为正方向），碰撞后甲、乙的速度分别为$v_{1}'$、$v'$，根据动量守恒定律有$mv_{1}-mv=mv_{1}'+mv'$

根据机械能守恒定律有$\dfrac {1}{2}mv^{2}+\dfrac {1}{2}mv_1^{2}=\dfrac {1}{2}mv'^{2}+\dfrac {1}{2}mv_1'^{2}$

解得$v_{1}'=-v$，$v'=v_{1}$

由几何关系可知$v_{1}=2v_{0}$

其中由$(2)$可得$v_{0}=\dfrac {\sqrt {3}v}{5\pi }$

碰撞后乙先在磁场中做匀速圆周运动，从$y$轴上的$A$点进入电场区域，由几何关系可知，$A$、$N$两点间的距离即乙做圆周运动的半径$r$，有$qv'B=m\dfrac {v'^{2}}{r}$

经分析可知$y_{乙}=L+r$

联立可解得$y_{乙}=\left(1+\dfrac {4\sqrt {3}}{5\pi }\right)L$