金属棒上的电流方向；（选答“$A$向$C$”或“$C$向$A$”）

$A$向$C$

由右手定则可以判定导体棒中电流的方向为$A$向$C$。

金属棒通过$x=2\;\rm m$处时，流过$R$的电流大小；

$0.2\\;\\rm A$

金属棒连入电路部分产生的感应电动势为$E_{1}=B_{1}dv=(0.6+0.2 \times 2) \times 1 \times 1\;\rm V=1\;\rm V$

根据闭合电路欧姆定律可得电流大小$I_{1}=\dfrac{E_{1}}{R+\dfrac{d}{l}r+2xr_{0}}=0.2\;\rm \text{A}$。

金属棒通过$x=2\;\rm m$处时，棒两端的电势差$U_{MN}$；

$-0.18\\;\\rm V$

由右手定则知$M$点电势低于$N$点电势，根据欧姆定律可得金属棒通过$x=2m$处时两端的电势差$U_{MN}=−[I_{1}(R+2xr_{0})+B_{1}(l − d)]v=-1.8\;\rm V$。

金属棒从$x=0$到$x=3\;\rm m$过程中，$R$上产生的热量和外力$F$做的功。

$0.24$；$2.34\\;\\rm J$

金属棒做匀速直线运动$I=\dfrac{Bdv}{R+\dfrac{d}{l}r+2xr_{0}}=\dfrac{(0.6+0.2x) \times 1 \times 1}{3+x}\text{A}=0.2\;\rm \text{A}$

$t=\dfrac{x}{v}=3\;\rm \text{s}$，$R$上产生的热量$Q=I^{2}Rt=0.24\;\rm J$

金属棒做匀速直线运动，则有$F=mg\sin \theta+BdI$

此过程$F$随位移均匀变化$F=0.72+0.04x$

金属棒从$x=0$到$x=3\;\rm m$过程中，外力$F$做的功$W=\overline{F}x=\dfrac{0.72+0.84}{2} \times 3\;\rm \text{J}=2.34\;\rm \text{J}$。