如图所示为水平面内的两根光滑平行导轨，左侧连接阻值为$R$的定值电阻，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小未知，与导轨宽度相同的导体棒质量为$m$、电阻为$\dfrac{R}{2}$，以初速度$v_{0}$从图示位置沿着导轨向右滑动，滑动距离为$s$后停下。棒与导轨始终接触良好，其他电阻不计，则$(\qquad)$

初始时刻$M$、$N$间电压为$\\sqrt{\\dfrac{2mv_{0}^{3}R}{3s}}$

初始时刻导体棒的加速度为$\\dfrac{v_{0}^{2}}{s}$

导体棒通过前$\\dfrac{s}{4}$的过程中，电阻$R$产生的焦耳热为$\\dfrac{7}{48}mv_{0}^{2}$

导体棒的运动时间等于$\\dfrac{2s}{v_{0}}$

$\rm A$．初始时刻电路中感应电动势为$E=BLv_{0}$

初始时刻$M$、$N$间电压为$U=\dfrac{R}{R+\dfrac{R}{2}}E=\dfrac{2E}{3}=\dfrac{2BLv_{0}}{3}$

导体棒所受安培力$F=BIL$

感应电流$I=\dfrac{E}{R+\dfrac{R}{2}}$

感应电动势$E=BLv$

对导体棒由动量定理得$−Ft=0 − mv_{0}$

则$- \dfrac{B^{2}L^{2}s}{\dfrac{3}{2}R}=0-mv_{0}$

解得$U=\sqrt{\dfrac{2m{v_{0}}^{3}R}{3s}}$，故$\rm A$正确；

$\rm B$．初始时刻导体棒的加速度为$a=\dfrac{BIL}{m}$

又$I=\dfrac{E}{R+\dfrac{R}{2}}=\dfrac{2BLv_{0}}{3R}$

解得$a=\dfrac{{v_{0}}^{2}}{s}$，故$\rm B$正确；

$\rm C$．设导体棒通过距离$\dfrac{s}{4}$时的速度为$v$，由动量定理得$−Ft'=mv − mv_{0}$

即$- \dfrac{B^{2}L^{2} \times \dfrac{s}{4}}{\dfrac{3}{2}R}=mv-mv_{0}$

解得$v=\dfrac{3}{4}v_{0}$

导体棒通过前$\dfrac{s}{4}$的过程中，电阻$R$产生的焦耳热为$Q=\dfrac{R}{R+\dfrac{R}{2}}\left\lbrack \dfrac{1}{2}m{v_{0}}^{2}-\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{3}{4}v_{0} \right)^{2} \right\rbrack=\dfrac{7}{48}m{v_{0}}^{2}$，故$\rm C$正确；

$\rm D$．由$F=BIL=\dfrac{B^{2}L^{2}v}{R_{总}}=ma$

可知导体棒做加速度减小的减速运动，所以导体棒运动的平均速$\overline{v} \lt \dfrac{v_{0}}{2}$

由$s=\overline{v}t$，可知导体棒的运动时间$t \gt \dfrac{2s}{v_{0}}$，故$\rm D$错误。

故选：$\rm ABC$。