$k$的数值；

$4$；

导体棒由静止开始下滑，根据牛顿第二定律有$mg\sin\theta − \mu mg\cos\theta=ma$

设刚进入磁场时速度大小为$v$，根据速度位移公式有$v^{2}=2ad$

解得$a=2\;\rm m/s^{2}$，$v=2\;\rm m/s$

刚进入磁场时，设电动势大小为$E$，根据法拉第电磁感应定律有$E=Blv$

根据闭合电路欧姆定律有$I=\dfrac{E}{r+R}$

导体棒受力平衡$mg\sin\theta − \mu mg\cos\theta=BIl$

解得$B=4T$

金属棒从释放到进入磁场的时间$t=\dfrac{v}{a}=1\;\rm{s}$

由$B=kt$

解得$k=4$；

金属棒进入磁场前后的电流大小的比值；

$\\dfrac{1}{2}$；

根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场前的感应电动势$E_{0}=\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=S \cdot \dfrac{\Delta B}{\Delta t}=8l^{2}=2\;\rm{V}$

感应电流$I_{0}=\dfrac{E_{0}}{R+r}=0.5\;\rm{A}$

进入磁场后感应电流大小为$I=\dfrac{E}{R+r}=1\;\rm{A}$

所以$\dfrac{I_{0}}{I}=\dfrac{1}{2}$；

金属棒下滑过程中定值电阻$R$产生的焦耳热。

$1.5\\;\\rm J$。

导体棒进入磁场前，定值电阻中产生的热量$Q_{0}=I_{0}^{2}Rt$

解得$Q_{0}=0.5\;\rm J$

导体棒进入磁场后，定值电阻中产生的热量$Q=I^{2}Rt'$

其中$t'=\dfrac{2l}{v}=0.5\;\rm{s}$

解得$Q=1\;\rm J$

所以金属棒下滑过程中定值电阻$R$产生的焦耳热$Q_{1}=Q_{0}+Q=1.5\;\rm J$。