求粒子射入磁场的速度大小$v_{1}$和在磁场中运动的时间$t_{1}$；

$\\dfrac{2qBy_{0}}{m}$，$\\dfrac{\\pi m}{3qB}$；

作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示

由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为$r=\dfrac{y_{0}}{\sin\theta}=2y_{0}$

由洛伦兹力提供向心力$qv_{1}B=m\dfrac{v_{1}^{2}}{r}$

解得正电荷的入射速度大小为$v_{1}=\dfrac{2qBy_{0}}{m}$

正电荷在磁场中运动的周期为$T=\dfrac{2\pi r}{v_{1}}=\dfrac{2\pi m}{qB}$

所以正电荷从$M$运动到$N$的时间为$t_{1}=\dfrac{2\theta}{2\pi}T=\dfrac{\pi m}{3qB}$；

若在$xOy$平面内某点固定一负点电荷，电荷量为$48q$，粒子质量取$m= \dfrac{B^{2}y_{0}^{3}}{k}$（$k$为静电力常量），粒子仍沿（$1$）中的轨迹从$M$点运动到$N$点，求射入磁场的速度大小$v_{2}$；

$\\dfrac{6kq}{By_{0}^{2}}$；

由题意可知，在$xOy$平面内的负电荷在圆心$O$处，由牛顿第二定律可知$qv_{2}B+k\dfrac{48q^{2}}{r^{2}}= m\dfrac{v_{2}^{2}}{r}$，其中$m= \dfrac{B^{2}{y_{0}}^{3}}{k}$

解得$v_{2}=\dfrac{6kq}{By_{0}^{2}}$或$v_{2}=\dfrac{- 4kq}{By_{0}^{2}}$（舍去）；

在（$2$）问条件下，粒子从$N$点射出磁场开始，经时间$t_{2}$速度方向首次与$N$点速度方向相反，求$t_{2}$（电荷量为$Q$的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为$0$时，与该点电荷距离为$r$处的电势$\varphi=\dfrac{kQ}{r}$）。

$\\dfrac{2\\sqrt{3}\\pi By_{0}^{3}}{3kq}$。

在（$2$）的条件下，正电荷从$N$点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示

由能量守恒定律得$\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}-q\dfrac{k48q}{r_{2}}=\dfrac{1}{2}mv_{3}^{2}-q\dfrac{k48q}{r_{3}}$

由开普勒第二定律可知$v_{2}r_{2}=v_{3}r_{3}$

其中$r_{2}=2y_{0}$

联立解得$r_{3}=6y_{0}$

由牛顿第二定律$k\dfrac{48q^{2}}{{\left(\dfrac{r_{2}+r_{3}}{2}\right)}^{2}}=m\left(\dfrac{r_{2}+r_{3}}{2}\right)\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}$

解得$T=\dfrac{4\sqrt{3}\pi By_{0}^{3}}{3kq}$

故正电荷从$N$点离开磁场后到首次速度变为与$N$点的射出速度相反的时间为$t_{2}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi By_{0}^{3}}{3kq}$。