匀强电场的电场强度大小$E$；

$\\dfrac{mg}{2q}$；

小球$M$被水平抛出后做类平抛运动，到达$O$点时的水平分速度为$v_{0}$，设其到达$O$点时的竖直分速度为$v_{y}$，已知小球$M$以与$x$轴正方向成$53^\circ$角的速度到达坐标原点$O$，则有：$\tan53{^\circ}=\dfrac{v_{y}}{v_{0}}$，解得：$v_{y}=\dfrac{4}{3}v_{0}$

小球$M$在电场中运动的加速度大小为：$a=\dfrac{v_{y}}{t}=\dfrac{4}{3}g$

根据牛顿第二定律得：$2qE+3mg=3ma$

解得：$E=\dfrac{mg}{2q}$

两球碰后瞬间的速度大小$v_{M}$、$v_{N}$；

$\\dfrac{5}{6}v_{0}$、$\\dfrac{5}{2}v_{0}$；

小球$M$到达$O$点时的速度大小为：$v= \dfrac{v_{0}}{\cos53{^\circ}}=\dfrac{5v_{0}}{3}$

两球发生弹性碰撞，以小球$M$到达$O$点时的速度方向为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得：

$3mv=3mv_{M}+mv_{N}\dfrac{1}{2} \times 3mv^{2}=\dfrac{1}{2} \times 3mv_{M}^{2}+\dfrac{1}{2}mv_{N}^{2}$

解得：$v_{M}=\dfrac{5}{6}v_{0}$，$v_{N}=\dfrac{5}{2}v_{0}$

从两球碰后瞬间开始计时，求在$t= \dfrac{3k\pi m}{qB}(k=1,2,3 \cdots )$时刻，两球距离的表达式。

$\\dfrac{4k\\pi mv_{0}}{qB}(k=1,2,3 \\cdots)$

碰后小球$M$、$N$带电量均为$q$，两小球进入磁场时沿$+x$方向与$-y$方向的分速度分别为：

$v_{Mx}=v_{M}\cos53^\circ= \dfrac{1}{2}v_{0}$，$v_{My}=v_{M}\sin53^\circ= \dfrac{2}{3}v_{0}$，$v_{Nx}=v_{N}\cos53^\circ= \dfrac{3}{2}v_{0}$，$v_{Ny}=v_{N}\sin53^\circ=2v_{0}$

两小球均沿$-y$方向做加速度等于$g$的匀加速运动，均在水平面内做匀速圆周运动，运动轨迹为不等距的螺旋线。

对于匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：

$qv_{Mx}B=3m\dfrac{v_{Mx}^{2}}{r_{M}}$；$qv_{Nx}B=m\dfrac{v_{Nx}^{2}}{r_{N}}$

解得小球$M$、$N$的圆周运动半径为$r_{M}=r_{N}= \dfrac{3mv_{0}}{2qB}$

小球$M$圆周运动的周期为：$T_{M}=\dfrac{2\pi r_{M}}{v_{Mx}}=\dfrac{6\pi m}{qB}$

小球$N$圆周运动的周期为：$T_{N}=\dfrac{2\pi r_{N}}{v_{Nx}}=\dfrac{2\pi m}{qB}$

从两球碰后瞬间开始计时，在$t=\dfrac{3k\pi m}{qB}(k=1,2,3 \cdots )$时刻，两球总是在同一竖直线上。

根据碰后两球在竖直方向上的分运动，可得两球的距离的表达式为：

$d=y_{N}-y_{M}=v_{Ny}t+ \dfrac{1}{2}gt^{2}-\left(v_{My}t+ \dfrac{1}{2}gt^{2}\right)=(v_{Ny}-v_{My})t= \dfrac{4k\pi mv_{0}}{qB}(k=1,2,3 \cdots)$