物块第一次到达$B$点时的速度大小；

$5\\;\\rm m/s$

根据牛顿第二定律，可得物块在传送带上加速时的加速度为$a_{1}=\mu g=2.5 m/s^{2}$

若物块与传送带共速，则物块需要加速的位移为$x_{1}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2a_{1}}=5\;{\rm m}=x$

故物块第一次到达$B$点时的速度大小$v_{B}=5\;\rm m/s$

物块第一次沿斜面向上运动相对$C$点的最大距离；

$1\\;\\rm m$

设物块第一次沿斜面向上运动相对$C$点的最大距离为$x_{2}$，对物块从$B$到最高点列动能定理有$- mgh-mgx_{2}\sin\theta-\mu mgx_{2}\cos\theta= 0-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$，$h=R(1-\cos\theta)$

联立代入数据求得$x_{2}=1\;\rm m$

物块能否从传送带的左侧离开？若能，求出离开时的速度，若不能，求出物块在斜面上运动的总路程。

不能，$4\\;\\rm m$

由于物块从$A$点静止开始加速到达$B$点恰好与传送带共速，但物块在斜面上运动的过程中有能量损失，则物块返回到$B$点的速度小于$5\;\rm m/s$，故物块不能从传送带的左侧离开。

设物块物块在斜面上运动的总路程为$s$，结合前面分析可知，物块在$BC$段，根据动能定理有$- mgR(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

求得$v_{C}^{}=4\;\rm m/s$

由运动的对称性及功能关系可得$- \mu mg\cos\theta \cdot s=0-\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}$

求得$s=4\;\rm m$