求物块$a$第一次到达$B$点过程中与传送带之间因摩擦产生的热量；

$30\\;\\rm J$

由题知，物块$a$在传送带上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有$\mu _{1}mg=ma$

解得$a=6\;\rm m/s^{2}$

物块$a$加速到与传送带共速的位移为$x=\dfrac{v^{2}}{2a}=\dfrac{16}{3}\;\text{m}\gt L=3\;\rm \text{m}$

说明物块$a$从$A$点到$B$点一直加速，且到$B$点时速度小于传送带的速度，设此时物块$a$的速度为$v_{1}$，根据速度位移公式有$L=\dfrac{v_{1}^{2}}{2a}$

解得$v_{1}=6\;\rm m/s$

此时物块$a$运动的时间为$t_{1}=\dfrac{v_{1}}{a}=1\;\rm \text{s}$

传送带运动的位移为$x=vt_{1}=8\;\rm m$

则物块$a$相对传送带的位移为$\Delta x_{相}=x-L=5\;\rm m$

产生的热量为$Q=\mu _{1}mg\Delta x_{相}$

代入数据解得$Q=30\;\rm J$

求物块第一次到达$D$点时对管道的作用力；

$6\\;\\rm N$，方向竖直向上

物块$a$从$B$运动到$D$过程，根据动能定理有$- mgR=\dfrac{1}{2}mv_{\text{D}}^{2}- \dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$

解得$v_{\rm D}=4\;\rm m/s$

物块$a$在$D$点，根据牛顿第二定律有$F+mg=m\dfrac{v_{\rm D}^{2}}{R}$

代入数据解得$F=6\;\rm N$

根据牛顿第三定律，物块$a$在$D$点对管道的作用力大小为$6\;\rm N$，方向竖直向上。

物块每次与挡板碰撞后均按原速率反弹，求最终物块停止的位置。

距离挡板$0.5\\;\\rm m$处或距$D$点$1\\;\\rm m$处

对全过程应用动能定理，则有$- \mu_{2}mgx=0-\dfrac{1}{2}mv_{\text{D}}^{2}$

解得$x=8\;\rm m$

因$DE$长度$d=1.5\;\rm m$，所以$x=8\;{\rm m}=5d+0.5\;\rm m$

最终停在距离挡板$0.5\;\rm m$处或距$D$点$1\;\rm m$处。