高中 | 带电粒子在匀强电场中的直线运动 题目答案及解析
稿件来源：高途
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选修3-1
第一章 静电场
1.9 带电粒子在电场中的运动
带电粒子在匀强电场中的直线运动
某“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分装置组成，其原理可如图所示简化，第三象限内沿半径方向的加速电场区域边界$AB$、$CD$为两个同心半圆弧面，圆心为$O_{1}$，两半圆弧面间电势差为$U_{0}$；第二象限内紧靠$O_{1}$上方有一垂直于纸面的圆形匀强磁场区域，圆心为$O_{2}$，半径为$L$；第一象限有一与$O_{1}O_{2}$连线平行的足够长的收集板$PQ$。假设太空中漂浮着质量为$m$，电荷量为$q$的带正电粒子，它们能均匀地吸附到$AB$圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速到$CD$圆弧面上，再由$O_{1}$点进入磁场偏转，并最终到达$PQ$板被收集。其中沿$O_{1}O_{2}$连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心$O_{2}$的正右方$E$点射出磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。求：
粒子聚焦到$O_{1}$点时速度$v$的大小；
$\\sqrt{\\dfrac{2qU_{0}}{m}}$
"]]粒子从静止加速，由动能定理得$qU_{0}=\dfrac{1}{2}mv^{2}$
解得$v=\sqrt{\dfrac{2qU_{0}}{m}}$
圆形磁场的磁感应强度$B$的大小和方向；
$\\dfrac{1}{L}\\sqrt{\\dfrac{2mU_{0}}{q}}$，方向垂直纸面向外
"]]根据题意由几何关系得$r=L$
由牛顿第二定律得$qvB=m\dfrac{v^{2}}{r}$
故得圆形磁场的磁感应强度$B=\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{2mU_{0}}{q}}$
由左手定则可判定磁场方向垂直纸面向外。
从图中$MN$（夹角$MO_{1}N$为$120^\circ$）之间被加速的粒子到达收集板沿$PQ$方向的宽度；
$\\sqrt{3}L$
"]]由几何知识得$N$点射入的粒子到达收集板的竖直坐标$y_{1}=L+L\cos 30^\circ $
$M$点射入的粒子到达收集板的竖直坐标$y_{2}=L-L\cos 30^\circ $
故得从图中$MN$之间被加速的粒子到达收集板沿$PQ$方向的宽度$\Delta y=y_{1}-y_{2}=\sqrt{3}L$
若每秒打在收集板上的粒子数为$n$，打在板上的粒子数$50\%$被吸收，$50\%$被反弹，弹回速度大小为打板前速度大小的$0.6$倍，收集板受到的作用力的大小。
$1.3n\\sqrt{2qmU_{0}}$
"]]以每秒打在收集板上的粒子为研究对象，根据题意，由动量定理$F⋅\Delta t=\Delta p$得
打在板上被吸收的粒子所受的作用力$F_{1}=\dfrac{\Delta p_{1}}{\Delta t}=\dfrac{0.5nmv}{1}=0.5nmv$
打在板上被反弹的粒子所受的作用力$F_{2}=\dfrac{\Delta p_{2}}{\Delta t}=\dfrac{0.5nm(0.6v+v)}{1}=0.8nmv$
每秒打在收集板上的粒子所受的作用力$F=F_{1}+F_{2}=1.3nmv=1.3n\sqrt{2qmU_{0}}$
再由牛顿第三定律得收集板受到的作用力的大小$F'=1.3n\sqrt{2qmU_{0}}$
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