如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$\triangle ABD$是边长为$3$的正三角形，$BC\perp CD$，$BC=CD$，$PD\perp AB$，平面$PBD\perp$平面$ABCD$．

$(1)$求证：$PD\perp$平面$ABCD$；

$(2)$若$PD=4$，求二面角$C-PB-D$的平面角的正切值．

$(1)$证明见解析；

$(2)$$\\dfrac{5}{4}$．

$(1)$连接$AC$交$BD$于点$O$，由平面几何知识易知$AC\perp BD$，

又平面$ABCD\perp$平面$PBD$，$BD$是交线，$AC\subset$平面$ABCD$，

$\therefore AC\perp$平面$PBD$，

又$PD\subset$平面$PBD$，

$\therefore AC\perp PD$，

又$PD\perp AB$，$AC\cap AB=A$，$AC$，$AB\subset$平面$ABCD$，

$\therefore PD\perp$平面$ABCD$；

$(2)$如图，以$O$为坐标原点，$OC$为$x$轴，$OD$为$y$轴，建立如图空间直角坐标系，

$PD=4$，则$C\left(\dfrac{3}{2},0,0\right),D\left(0,\dfrac{3}{2},0\right),B\left(0,-\dfrac{3}{2},0\right),P\left(0,\dfrac{3}{2},4\right)$，

易知$\boldsymbol {n_1}=(1,0,0)$是平面$PBD$的一个法向量，$\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},0\right),\overrightarrow{BP}=(0,3,4)$，

设$\boldsymbol {n_2}=(x,y,z)$是平面$PBC$的一个法向量，

则$\begin{cases}{\boldsymbol {{n}_{2}}\cdot \overrightarrow{BC}=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}y=0}\\ {\boldsymbol {{n}_{2}}\cdot \overrightarrow{BP}=3y+4z=0}\end{cases}$，取$\boldsymbol {n_2}=(-4,4,-3)$，

$\therefore \cos \lt \boldsymbol {n_1},\boldsymbol {n_2}\gt =\dfrac{\boldsymbol {n_1}\cdot \boldsymbol {n_2}}{\vert \boldsymbol {n_1}\vert \vert \boldsymbol {n_2}\vert }=\dfrac{-4}{1\times \sqrt{41}}=\dfrac{-4\sqrt{41}}{41}$，

$\because $二面角$C-PB-D$的平面角为锐角，

$\therefore $二面角$C-PB-D$的平面角的余弦值为$\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$，

$\therefore $二面角$C-PB-D$的平面角的正切值为$\dfrac{5}{4}$．