在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$、$N$分别是$AB$、$AD$的中点，$E$、$F$、$P$分别是$B_{1}C_{1}$、$BB_{1}$、$DD_{1}$的中点.
$(1)$证明：$MN//$平面$BDD_{1}B_{1}$；
$(2)$证明：$CA_{1}\bot MN$；
$(3)$请判断直线$EF$与平面$MNP$位置关系（不需说明理由$)$.

$(1)$ 证明见解析
$(2)$ 证明见解析
$(3)$ $EF\\subset $平面$MNP$

$(1)$证明：$\because MN//BD$，$MN$⊄面$BDD_{1}B_{1}$，$BD\subset $平面$BDD_{1}B_{1}$，
$\therefore MN//$平面$BDD_{1}B_{1}$.
$(2)$证明：$AA_{1}\bot $平面$ABCD$，$MN\subset $平面$ABCD$，$\therefore AA_{1}\bot MN$，
$\because AC\bot BD,MN//BD$，$\therefore AC\bot MN$.
又$\because AA_{1}\cap AC=A$，$\therefore MN\bot $平面$A_{1}AC,\therefore CA_{1}\bot MN$.
$(3)$$EF\subset $平面$MNP($理由：取$C_1D_1$的中点$G$，连接$PG$，$EG$，$MF$，如图，可知$MNPGEF$是正六边形，所以$EF\subset $平面$MNP)$.
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