如图，四棱锥$P-ABCD$的底面是边长为$2$的正方形，平面$PAB\bot $平面$PCD$，$E$为$CD$的中点，$PE\bot CD$，$PE=1$.
$(1)$证明：$PE\bot $平面$PAB$；
$(2)$求平面$PBC$与平面$PAE$的夹角的正弦值.

$(1)$ 证明见解析;
$(2)$ $\\dfrac{\\sqrt{42}}{7}$

$(1)$证明：因为四棱锥$P-ABCD$底面是边长为$2$的正方形，所以$AB//CD$，
因为$CD$⊄平面$PAB$，$AB\subset $平面$PAB$，所以$CD//$平面$PAB$，
设平面$PAB\cap $平面$PCD=PM$，则$PM//CD$，
因为$PE\bot CD$，所以$PE\bot PM$，
因为$PE\subset $平面$PCD$，平面$PAB\bot $平面$PCD$，
所以$PE\bot $平面$PAB$；，
$(2)$连接$BE$，因为$E$为$CD$中点，所以$|AE|=|BE|=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
由$PE\bot $平面$PAB$，$PA$，$PB\subset $平面$PAB$，所以$PE\bot PA$，$PE\bot PB$，
因为$|PE|=1$，$|PA|=|PB|=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{1}^{2}}=2$，所以$\triangle PAB$为正三角形，
取$AB$中点$F$，连接$PF$，则$PF\bot AB$，所以$PF\bot PM$，
以$P$为坐标原点，$PF$，$PM$，$PE$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，如图.
则$P\left(0,0,0\right),E\left(0,0,1\right),F\left(\sqrt{3},0,0\right)$，
$A\left(\sqrt{3},-1,0\right),B\left(\sqrt{3},1,0\right),C\left(0,1,1\right),D\left(0,-1,1\right)$，
所以$\overrightarrow{PB}=\left(\sqrt{3},1,0\right),\overrightarrow{PC}=\left(0,1,1\right),\overrightarrow{PA}=\left(\sqrt{3},-1,0\right),\overrightarrow{PE}=\left(0,0,1\right)$，
设平面$PBC$法向量为$\boldsymbol{m}=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PB}\cdot \boldsymbol{m}=0\\ \overrightarrow{PC}\cdot \boldsymbol{m}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x_{1}+y_{1}=0\\ y_{1}+z_{1}=0\end{array}\right.$，令$x_{1}=1$，则$y_{1}=-\sqrt{3},z=\sqrt{3}$，所以$\boldsymbol{m}=\left(1,-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$，
设平面$PAE$法向量为$\boldsymbol{n}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PA}\cdot \boldsymbol{n}=0\\ \overrightarrow{PE}\cdot \boldsymbol{n}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x_{2}-y_{2}=0\\ z_{2}=0\end{array}\right.$，令$x_{2}=1,y_{2}=\sqrt{3},z_{2}=0$，所以$\boldsymbol{n}=\left(1,\sqrt{3},0\right)$，
设平面$PBC$与平面$PAE$夹角为$\theta $，由图可知$\theta $为锐角，
所以$\cos\theta =|\cos\lt \boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\gt |=\dfrac{|\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\dfrac{|1-3|}{2×\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$，
所以$\sin\theta =\sqrt{1-{\cos}^{2}\theta }=\sqrt{1-\dfrac{1}{7}}=\dfrac{\sqrt{42}}{7}$，
所以平面$PBC$与平面$PAE$的夹角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{42}}{7}$.