如图四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中$,BC//AD$，$CC_{1}\bot $平面$ABCD$，$AD=2AB=2BC$.
$(1)$证明：$CD\bot AC_{1}$；
$(2)$若$CC_{1}=2$，$CD=3$，$BC={A}_{1}{D}_{1}=\dfrac{5}{2}$，求二面角$A_{1}-AB-C$的余弦值.

$(1)$ 证明见解析
$(2)$ $\\dfrac{3\\sqrt{34}}{34}$

$(1)$证明：取$AD$的中点$E$，连接$CE$，则$BC//AE$，$BC=AE$，
所以四边形$BCEA$为平行四边形，
所以$CE=AB=BC=AE=DE=\dfrac{1}{2}AD$，所以$CD\bot CA$，
因为$CC_{1}\bot $平面$ABCD$，$CD\subset $平面$ABCD$，所以$CC_{1}\bot CD$，
又$CA$，$CC_{1}\subset $平面$ACC_{1},CA\cap CC_{1}=C$，所以$CD\bot $平面$ACC_{1}$，
因为$AC_{1}\subset $平面$ACC_{1}$，所以$CD\bot AC_{1}$.
，
$(2)$因为$CC_{1}\bot $平面$ABCD$，$AC\subset $平面$ABCD$，所以$CC_{1}\bot AC$，
由$(1)$得$CD\bot CA$，$CC_{1}\bot CD$，
以点$C$为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知，$CD=3$，$AD=5$，所以$AC=4$，
则$C\left(0,0,0\right),A\left(0,4,0\right)$，$D\left(3,0,0\right),B\left(-\dfrac{3}{2},2,0\right)$，
由四棱台的性质知，$\dfrac{{C}_{1}{A}_{1}}{CA}=\dfrac{{A}_{1}{D}_{1}}{AD}=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{5}=\dfrac{1}{2}$，即$C_{1}A_{1}=\dfrac{1}{2}CA=2$，所以$A_{1}\left(0,2,2\right)$，
所以$\overrightarrow{A{A}_{1}}=\left(0,-2,2\right),\overrightarrow{B{A}_{1}}=\left(\dfrac{3}{2},0,2\right)$，
设平面$A_{1}AB$的法向量为$\boldsymbol{m}=\left(x,y,z\right)$，则$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{A{A}_{1}}=0\\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{B{A}_{1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2y+2z=0\\ \dfrac{3}{2}x+2z=0\end{array}\right.$，
取$x=4$，则$\boldsymbol{m}=\left(4,-3,-3\right)$，
易知平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=\left(0,0,1\right)$，
所以$\cos \lt \boldsymbol{m},\boldsymbol{n} \gt =\dfrac{\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}|\cdot |\boldsymbol{n}|}\dfrac{-3}{\sqrt{34}×1}=-\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$，
由图可知，二面角$A_{1}-AB-C$为锐角，
故二面角$A_{1}-AB-C$的余弦值为$\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$.