$2022$世界乒乓球团体锦标赛将于$2022$年$9$月$30$日至$10$月$9$日在成都举行.近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束.根据以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{1}{3}$，且每局比赛相互独立.
$(1)$求甲获得乒乓球比赛冠军的概率；
$(2)$比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有$2$个白球与$1$个黄球”的白盒与“装有$1$个白球与$2$个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃.裁判按照如下规则取球：每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为$X$，求随机变量$X$的分布列与数学期望.

(1) $\\dfrac{20}{27}$;

(2) 答案见解析

$(1)$记事件$A_{i}$：“甲在第$i$局比赛中获胜”，$\left(i=1,2,3\right)$，
事件$\overline{{A}_{i}}$：“甲在第$i$局比赛中末胜”$\left(i=1,2,3\right)$，
$P({A}_{i})=\dfrac{2}{3}$，$P(\overline{{A}_{i}})=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$，$\left(i=1,2,3\right)$，
记事件$A$：“甲夺得冠军“，
则$P(A)=P({A}_{1}{A}_{2})+P({A}_{1}\overline{{A}_{2}}{A}_{3})+P(\overline{{A}_{1}}{A}_{2}{A}_{3})=(\dfrac{2}{3})^{2}+\dfrac{1}{3}×(\dfrac{2}{3})^{2}+\dfrac{1}{3}×(\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{20}{27}$.

$(2)$设甲乙决出冠军共进行了$Y$局比赛，易知$Y=2$或$Y=3$，
则$P(Y=2)=P({A}_{1}{A}_{2})+P(\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}})=(\dfrac{2}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{5}{9}$，故$P(Y=3)=1-P(Y=2)=\dfrac{4}{9}$，
记$W_{i}$表示第$i$局从白盒中抽取的白色球，$Y_{i}$表示第$i$局从黄盒中抽取的黄色球，
$X$的所有可能取值为$1$，$2$，$3$，
$P\left(X=1\right)=P\left(Y=2\right)P(W_{1}W_{2})+P(Y=3)[P({W}_{1}{W}_{2}\overline{{W}_{3}})+P({W}_{1}\overline{{W}_{2}}\overline{{Y}_{3}})+P(\overline{{W}_{1}}\overline{{Y}_{2}}{W}_{3})]=\dfrac{35}{81}$，
$P(X=2)=P(Y=2)[P({W}_{1}\overrightarrow{{W}_{2}})+P(\overline{{W}_{1}}\overline{{Y}_{2}})]+P(Y=3)[P({W}_{1}\overline{{W}_{2}}{Y}_{3})++P(Y=3)[P({W}_{1}\overline{{W}_{2}}{Y}_{3})+P(\overline{{W}_{1}}{Y}_{2}\overline{{Y}_{3}})]=\dfrac{32}{81}=\dfrac{32}{81}$，
$P(X=3)=P(Y=2)P(\overline{{W}_{1}}{Y}_{2})+P(Y=3)P(\overline{{W}_{1}}{Y}_{2}{Y}_{3})=\dfrac{14}{81}$，
综上可得，$X$的分布列如下：

数学期望为$E(X)=1×\dfrac{35}{81}+2×\dfrac{32}{81}+3×\dfrac{14}{81}=\dfrac{47}{27}$.